No.1ベストアンサー
- 回答日時:
4次方程式x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + 3=0の実数解が1と3なので、
1+a+b+c+3=0
a+b+c+4=0 …(j)
81+27a+9b+3c+3=0
27+9a+3b+c+1=0
9a+3b+c+28=0 …(k)
(k)-(j)より、
8a+2b+24=0
2b=-(8a+24)
b=-(4a+12)
a-(4a+12)+c+4=0
-3a+c+16=0
c=3a-16
x^4 + ax^3 - (4a+12)x^2 + (3a-16)x + 3=0の実数解が1と3となる組み合わせは、
(1) (x-1)(x-3)(x^2 + px + q)=0と因数分解でき、x^2 + px + q=0が実数解をもたない場合
(2) (x-1)^2 (x-3)^2=0の場合(x=1, 3が共に2重解の場合)
(3) (x-1)^3 (x-3)=0の場合(x=1が3重解の場合)
(4) (x-1) (x-3)^3=0の場合(x=3が3重解の場合)
の4通りになる。
それぞれの組み合わせごとに展開して、aが整数以外の場合は不適として除外する。
x^2 + px + q=0が実数解をもたない場合は、判別式D<0となるp, qの範囲を絞り込む。
最終的にaの取りうる範囲を確認し、最大値、最小値を導出する。
解き方としては、こんな感じかな。
No.2
- 回答日時:
一部訂正。
4次方程式の定数項が3なので、(2)と(4)は明らかに不適なので考えなくて良い。
あと(1)は定数項が3よりq=1なのは明らか。
(1),(3)の組み合わせごとに展開して、次数ごとの係数比較を行い、aが整数以外の場合は不適として除外する。
x^2 + px + 1=0が実数解をもたない場合は、判別式D<0となるpの範囲を絞り込む。
最終的にaの取りうる範囲を確認し、最大値、最小値を導出する。
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