平方完成

こんにちは！
なぜ平方完成するとそこが絶対に頂点だとわかるのですか？いろいろ調べましたがよく分かりませんでした。よろしくお願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2021/06/12 20:27

y=a(x-p)²+q　(a≠0)

(x-p)²≧0 より、
a>0 のとき、a(x-p)²≧0
これより、x=p のとき、a(x-p)²=0 で最小となる。
よって、y=a(x-p)²+q は、x=p のとき、最小値 q をとる。
つまり、下に凸の放物線で、頂点は (p,q) です。

a<0 のとき、a(x-p)²≦0
これより、x=p のとき、a(x-p)²=0 で最大となる。
よって、y=a(x-p)²+q は、x=p のとき、最大値 q をとる。
つまり、上に凸の放物線で、頂点は (p,q) です。

この回答へのお礼

ゼロプライムさん
ありがとうございます！ゼロプライムさんの証明の式にいろいろ数を入れて調べていったらよく分かりました！

お礼日時：2021/06/13 06:31

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/06/12 20:45

それを厳密に示すのは、「頂点」の定義を確認しないとね。

このやり方↓で頂点という言葉を定義した場合には、
https://manabitimes.jp/math/1199
もともと平方完成して得られるものこそが頂点であって、
それを「なぜ？」と問うても、「そう定義したから」という答えしかない。
こっちのやり方↓で頂点という言葉を定義した場合には、
https://math.nakaken88.com/textbook/basic-parabo …
結構面倒な計算が必要。難しくはないけれども。
あなたの「頂点」の定義は？

この回答へのお礼

ありものがたりさん
ありがとうございます！実はその貼ってくれたホームページをみたことがあるのですが、分からなくて投稿しました。でも、ありがとうございます！あと、私の頂点の定義はその二次関数の中心となる点(その点から線を引いたら対象になるところ)かなと思っています！

お礼日時：2021/06/13 06:38

No.1 回答者： kacchann 回答日時： 2021/06/12 20:07

y=(x-a)^2 +b

理屈の前に、
(x,y)に色々と値を愚直に代入してその座標値を
グラフに書き出していってみれば、
「体感でわかる」。

この回答へのお礼

kacchannさん

ありがとうございます！確かに式にたくさん数字を入れていけばそのグラフはかけますが、これという定義を知りたかったので今回は他の人をベストアンサーとさせていただきました！でも、ありがとうございます！

お礼日時：2021/06/13 06:41