微積

この問題は恐らく置換積分だと思うんですが、
答えがどうしても-3x+1/9(3x+2)^2+Cにならなくて
どなたか教えてくれませんか？テスト近くで急いでるので大変お手数ですがよろしくお願いします

No.1 ベストアンサー 回答者： masterkoto 回答日時： 2021/07/04 14:39

単なる分数式の分解変形で済むことです

x=(1/3)(3x+2-2)だから
∫x/(3x+2)³dx=(1/3)∫(3x+2)/(3x+2)³dx-(1/3)∫２/(3x+2)³dx
=(1/3)∫１/(3x+2)²dx-(1/3)∫２/(3x+2)³dx
=(1/3)(-1/3){1/(3x+2)}-(1/3)・2(-1/6){1/(3x+2)²}＋C
=右辺

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/07/04 22:23

分子が定数の分数にバラしちゃえばいいんだよ。

x/(3x+2)^3 = (1/3)((3x+2) - 2)/(3x+2)^3
　　　　　　= (1/3)/(3x+2)^2 - (2/3)/(3x+2)^3
ここで積分すれば、
∫x/(3x+2)^3 dx = (1/3)∫(3x+2)^-2 dx - (2/3)∫(3x+2)^-3 dx
となって、∫(3x+2)^a dx の形に帰着できる。

部分分数分解と最後の積分の置換積分を兼ねて、
最初から 3x+2 = y で置換してしまうと見通しがいい。
∫x/(3x+2)^3 dx = ∫(1/3)(y-2)/y^3 (1/3)dy
　　　　　　　　= (1/9)∫{ 1/y^2 - 2/y^3 }dy
　　　　　　　　= (1/9){ -1/y + 1/y^2 } + C　；Cは定数
　　　　　　　　= - (1/9)(y - 1)/y^2 + C
　　　　　　　　= - (1/9)(3x+1)/(3x+2)^2 + C.