y'=tan²(x+y)の一般解の求め方を教えてください。 写真のようにやったのですが、上手く求めら

y'=tan²(x+y)の一般解の求め方を教えてください。

写真のようにやったのですが、上手く求められなくて躓いています。

No.1 回答者： rnakamra 回答日時： 2021/07/09 12:28

1/{1+(tan u)^2}=(cos u)^2=(1+cos 2u)/2

と変形すればuで積分できます。

この回答へのお礼

見るのが遅くなってしまいすみません…。わかりやすくありがとうございました！

お礼日時：2021/07/20 16:50

No.2 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/07/09 21:13

dy/dx = tan^2 (x+y)

u = x+y と置いて、
du/dx = 1 + dy/dx より
dx/du = 1/(dy/dx) = 1/(1 + tan^2 u) = 1/cos^2 u = { 1 + cos(2u) }/2.
u で積分して、
x = u/2 + (sin 2u)/4 + C.　；Cは定数

u を代入すれば
2x - 2y = sin(2x + 2y) + B.　;Bは定数
この式を y = … の形に書くことは無理と思います。
微分方程式の解が陰関数表示になるのは、普通のことです。

この回答へのお礼

見るのが遅くなってしまいすみません。ありがとうございました。

お礼日時：2021/07/20 16:50