【3月6日実施】システムメンテナンス実施のお知らせ

すみません。対数方程式について質問させてください。

私の理解では、対数方程式を解くためには対数の性質が使われる。
(対数の性質例:
logaA +logaB = logaAB
logaA = logcA/logca
logaA^n=nlogaA    etc.)

この対数の性質は、成立するためには底と真数に前提条件がある。a, b, c>0 かつ a,b,c≠1 かつ A,B>0がそれである。

与えられた対数方程式、不等式を解く時、一番初めにそこに含まれる全ての対数項について、真数と底の条件を調べて、その条件の下で最後までの方程式を解くかと思います。

これは、はじめに与えられた方程式、不等式が意味を持つための条件であるとともに、対数の性質を使えるための前提でもあると考えます。

言い換えると、この条件の下で式変形を行って問題を解くことで同値変形で方程式、不等式を解いてることになる。

このような理解をしているのですが、語弊はないでしょうか?

一例となりますが、
logaA^2=2logaAとやるとだめなのも(絶対値が、付いて外れるのが正しい。)、Aが負になる可能性があり、対数の性質を使える条件を満たしてないのでそもそも変形として間違いである。
(この変形について、上記のように絶対値を付けずに変形すると、変形前に対して十分条件になって答の範囲が狭くなる、のような?解説を聞いたのですが、そもそも対数の性質の前提条件を満たしてないので、変形として間違いだろ?と私は考えました。)

間違いや、理解不足あれば教えてもらえませんか?

質問者からの補足コメント

  • お返事ありがとうございます。
    a>0, a≠1として、
    方法1
    log[a]A^2について
    ①A>0のとき
    log[a]A^2 = 2log[a]A
    ②A<0のとき
    log[a]A^2 = 2log[a](-A)

    のように変形するのは正しいかと思われます
    どちらの場合も、対数の性質の前提 a>0, a≠1, x>0の下で
    log[a]x^2 = 2log[a]xを計算してることになるからです。


    方法2
    場合分けせずに、絶対値をつけて
    log[a]A^2 = 2log[a]|A|
    この変形も、その前後で対数方程式、不等式が同値変形になるかと思います。(他の変形で同値性が崩れなければ、この変形で崩れることはない)

    しかし、例えば
    log[2]x^2 = 4

    2log[2]x = 4のように変形してしまうと
    log[2]x = 2
    x=4のように一つしか解が出てきません。

    続き

    No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時:2022/05/06 20:06
  • どう思う?

    正しい変形は 対数の性質の前提を満たすべく
    方法1のようにxの正負で場合分けして解くか、方法2のように絶対値をつけることで真数を正にして解くことかと思われます。

    方法2
    log[2]x^2=4
    ⇔2log[2]|x|=4
    ⇔loag[2]|x|=2
    ⇔|x|=4⇔x=±4 これは対数の性質の前提を満たしてるので、同値変形であり、答も過不足なく求まります。

    ところで、先の対数性質を満たさない変形の場合、答えが+4の方しか求まってません。
    この意味で、十分条件になっていると言えるのかも知れませんが、そもそも対数の性質の前提を満たしてない状態で対数の性質を使ってるわけだから、式変形として間違いなのではないのでしょうか?

    これをお聞きしたかったのです。

    方法1,2の同値変形が成立する根拠は、対数性質の前提を満たすからと思うのですが、そこも含めて間違いがあれば教えて欲しかったのです。

      補足日時:2022/05/06 20:22
  • どう思う?

    方法1
    全部同値変形で解く。これが出来ると全く悩まない。
    方法2
    必要条件で解いて、最後に十分条件の吟味をする。候補を求めて、最後で余計なものを、取り除く。これも、よくある解き方な気がします。

    件の変形を認めると、1でも2でもない。つまり、過不足なくでも、余計なものが含まれる訳でもなく、逆に足りない訳ですから、吟味という話でもない。

    今、気付いたのですが、この変形は対数の性質の前提を満たしてないのではなくて、単にxが負になる場合の考察が抜けてるだけですね。
    なので十分条件の変形をしているという言い方で合ってる気がしてきました。

    勉強不足なせいもあり、十分条件の変形はあまり見ない気がします。これはその一例で注意が必要なケースとして記憶しておきます。

    そのような、理解で問題ないでしょうか?
    (数学が弱いのか、国語の力が弱いのか、両方なのか‥)


    ありがとうございます。

    No.4の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時:2022/05/06 22:30

A 回答 (4件)

No.2 です。



正確には x=±4 のところ x = 4 しか求まらないのは、「やり方がまずい」のであって、「解が間違っている」のとは違います。
「一部の解しか求めていない」のです。
「十分条件」とは、そういうもののことを指します。
当然「必要十分」ではありません。

「式変形として間違い」ということを、どう定義するかの問題です。
ある意味では、「数学」ではなく「日本語」の表現の話になりますが。
この回答への補足あり
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>log[2]x = 2 x=4 のように一つしか解が出てきません。



それで 良いのではないですか。
|x|=4 → x=±4 としても x=-4 は 対数の式としては
初めから 真数条件として 除外されるでしょ。
ですから それは 考える必要のない事だと思いますよ。
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>このような理解をしているのですが、語弊はないでしょうか?



はい、よいと思います。

>logaA^2=2logaAとやるとだめなのも
>そもそも変形として間違いである。

きちんと条件を付けて、必要によっては「場合分け」をして変形しないといけませんね。

>変形前に対して十分条件になって答の範囲が狭くなる

意味がよく分かりませんが

 2log[a](A) → log[a](A^2)

ですから、
「2log[a](A) は log[a](A^2) であるための十分条件」
ですが
「log[a](A^2) は 2log[a](A) であるための必要条件」(A > 0 のときだけ成立する)
だということをいっているのでしょうか?

「十分条件になって」というのは、「必要十分条件ではなく、十分条件にしかならない」という意味でしょうか。

>そもそも対数の性質の前提条件を満たしてないので、変形として間違いだろ?と私は考えました。

「間違い」というよりは、一部の条件のときにしか成り立たない、ということです。
その「一部の条件」のときには成り立つので、「間違い」とまではいえないでしょう。

「人間は2足歩行する」というのは、赤ちゃんや障碍のある人を含めると正しいとはいえませんが、通常の概念として「間違い」とはいえません。
この回答への補足あり
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「logaA^2=2logaAとやるとだめ」→ ダメでは無いと思いますよ。


最終的に A>0 を確認することは必要ですが。

>真数と底の条件を調べて、その条件の下で最後までの方程式を解く

普通に 方程式を解いて、 最後にその答えが 底や真数の条件に
合うか否かを 判断すれば 良いのでは。
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