合成関数の定義域につきまして

すみません。合成関数の定義域と値域について質問させてください。

f(x): 定義域 A 値域 B
g(x): 定義域 C 値域 D

とします。f(g(x))を考えるとき、
A⊃Dのとき
　f(g(x))の定義域はCになる。
値域については、場合分けをして考えて
①A=Dのとき
f(g(x))の値域は、f(x)の値域全体と一致する。つまりBとなる。
②A!=Dのとき
Dに対するf(x)の写像先全体(B'とします)になり、
これは一般にはBの部分集合となる。
すなわちB⊃B'　（もちろん左はB=B'になるケースも含む）

このような理解になるのですが、問題ないでしょうか？

上にも書きましたが、A⊃Bの場合を想定しています。
この時の合成関数のf(g(x))定義域、値域がどうなるのか、という話です。

よろしくお願いします。

質問者からの補足コメント

• 

  いつもありがとうございます。

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2022/05/19 17:07

No.1 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/05/18 17:36

微修正：

定義域については、
A⊃D のとき
　f(g(x)) の定義域は C になる。
A⊃D でないとき
　f(g(x)) の定義域は (g^-1)(A∩D) になる。

値域については、
A=D のとき
　f(g(x)) の値域は、f(x)の値域全体と一致する。つまりBとなる。
A!=D のとき
　D のうち f が定義されている範囲 A∩D に対する
　f(x) の写像先全体 f(A∩D) になり、
　これは一般に B の部分集合となる。