なぜ、θが微小なとき、tanθ≒θとなるのですか？

なぜ、θが微小なとき、tanθ≒θとなるのですか？

No.1 回答者： 右左 回答日時： 2022/09/04 13:30

マクローリン展開で、高次の項を無視できるから。

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2022/09/04 13:36

実際に電卓をたたいてみれば、θをラジアンで表記して

　tan(1) = 1.5574･･･
　tan(0.1) = 0.1003346･･･
　tan(0.01) = 0.010000333
ですね。
θ = 0.01 なら、十分に高精度で近似できますね。
θ = 0.1 でもかなりの精度です。

「どうして近似できるのか」よりも「実際に値が近い」ということです。

同様に、θが微小なとき
　sinθ ≒ θ
　cosθ ≒ 1
と近似できます。

どうしてそうできるかは、「テイラー展開」あたりを見てください。
↓
https://www.ice.tohtech.ac.jp/nakagawa/taylorexp …

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2022/09/04 13:58

半径1の扇形の弧の長さは θ になるけど

それとsinとcosの関係。

まずは一目見て、θを小さくすると、だいたい
同じになることを感じとろう。

No.4 回答者： finalbento 回答日時： 2022/09/04 14:00

θがものすごく小さな「極細」の直角三角形を描いてみれば、直角三角形の一辺を半径とする円弧とθを挟まない辺がほぼ同じ長さになる事はイメージできると思います。

より正確には他の回答にあったようにtanθをマクローリン展開すれば、θの二次以上の項は無視できて質問文の式になるはずです。

No.5 回答者： kairou 回答日時： 2022/09/04 14:15

直角三角形で考えてみましょう。

tanθ は (底辺)分の(高さ) で表せますね。
θ が 微小 と云う事は 高さが 微小(≒0) です。
つまり 分数で 分母がある数で 分子が ほぼ 0 ならば、
分数の値は ほぼ 0 になりますね。

tanθ=sinθ/cosθ と考えれば、
θ が微小なら sinθ は ほぼ 0 , cosθ は ほぼ 1 。
つまり 0/1=0 。

No.6 回答者： tknakamuri 回答日時： 2022/09/05 15:18

NO3です

>それとsinとcosの関係。

訂正
それとsinとtanの関係。

No.7 回答者： syotao 回答日時： 2022/09/06 18:13

lim(θ→0）tanθ/θ＝1だからθが小さければtanθ/θ≒1、∴tanθ≒θ