１次元定常熱伝導の問題

添付写真に示すような、モデルでの一次元定常熱伝導の問題を何とか手計算で解けないかと思っています。熱伝導の方程式や境界条件の設定をどうすれば良いのか分かりません。
どなたか、解法を教授いただければ幸いです

No.5 回答者： eatern27 回答日時： 2023/09/10 23:45

断面積A(x).、熱伝導率κ(x)、温度T(x)、発熱密度H(x)とすると、解くべき微分方程式は

d/dx [A(x)κ(x) dT(x)/dx]=-A(x)H(x)
各部材の中ではA,κ,Hは定数なので、
i番目の部材の解は2次の係数が-H_i/2κ_iであるような2次多項式になります。
1次の係数と定数項(格部材ごとに定数を決めるので全部で6個)は境界条件から決める必要があり、

①アルミの端でj(x)=0である
②部材の接合部でT(x)が連続である(接合部2箇所)
③部材の接合部でj(x)が連続である(接合部2箇所)
④ステンレスの先端でT(x)=T_0
から決める事になります。
ここで位置xでの熱流をj(x)=A(x)κ(x)dT(x)/d(x)としています。

未知数も式の場所も6つなので、計算を頑張れば答えは出てくるはずです。

1次元熱伝導方程式による近似(太さ方向の温度勾配を無視する近似)が適切かはお書きの内容からは判断できないので、計算の目的に応じてご自身で判断してください。(それで良いという判断の元での質問には見えますが)

この回答へのお礼

分かりやすい説明です。ありがとうございます。Tryしてみます。

お礼日時：2023/09/11 08:28

No.4 回答者： stomachman 回答日時： 2023/09/10 16:12

いくつかの部材が直列しているという設定ですね。

もし、どの部材も長さに比べて太さがうんと細いのであれば、温度分布は（ご質問の通り）1次元で近似的に表せて、それなら手計算でやれるだろう。すなわち
　　L[0] = 0
　　L[k-1]＜L[k] （k=1,2,...,N)
とする。N個の一様な部材が直列してできている物体で、
　　L[n-1]≦x＜L[n]
の範囲では材質も断面も一様である。
　n番目(n=1,2,...,N)の部材の単位長さあたりの発熱量をq[n]、単位長さあたりの比熱をR[n]、熱伝導率をD[n]とする（「単位長さあたりの」というのは、単に材質に依存するだけでなく、「断面積に比例する」という意味であることに注意）。

　まずは全体の温度分布が平衡状態になったときにどういう解がありうるかを考えてみる。
　xにおける単位長さあたりの熱量をQ(x)とすると、L[n-1]≦x＜L[n]のとき、（xによる微分を ' で表すことにして）
　　Q''(x) = - D[n]q[n]
より
　　Q(x) = (-D[n]q[n]/2)x² + C[n,1]x + C[n,2]
ただしC[n,1], C[n,2]は定数。
　また、xにおける温度をT(x)とすると、
　　T(x) = Q(x)/R[n]
だから、Tは「区分的に連続な2次関数」で表され、未知数は
　　C[1,1], C[2,1], ..., C[N,1]
　　C[1,2], C[2,2], ..., C[N,2]
の2N個である。

　ただし、x<0へは熱が移動しないので
　　Q'(0) = 0
より
　　C[1,2] = 0
また x=L[N]では温度が一定値T₀なので
　　T(L[N]) = T₀
という境界条件と、部材の接続部で温度が一致するので
　　((-D[n]q[n]/2)(L[n-1])² + C[n,1]L[n-1] + C[n,2])/R[n] = ((-D[n]q[n+1]/2)(L[n])² + C[n,1]L[n] + C[n,2])/R[n]
であるという制約がつく。これらの制約条件によって未知数はN-1個に減る。
　言い換えれば、N-1次元の自由度が残されているわけで、この自由度の範囲内で無限個の平衡解がある。

　というわけで、平衡状態を考えるだけでは話が確定しない。例えば「全部の部材が温度T₀である状態から出発する」というような初期条件を与えて、平衡に至るまでの過渡的変化を考えることになるだろう（けれども、それはご質問には含まれていない）。もちろん、方程式に∂Q/∂tの項を付け加えるだけのことであり、初期条件が簡単なら手計算でも扱えるに違いない。

この回答へのお礼

丁寧なご説明ありがとうございました。もう少し問題を整理してみます。

お礼日時：2023/09/11 08:29

No.3 回答者： himagene 回答日時： 2023/09/10 12:23

＃1です。

訂正「特に→解くに」。
ところで、「周辺は断熱条件」と書いていますがステンレスの端面以外は外部との熱の受授が無いという意味ですか？それなら熱流にとって太さ（高さと幅）は無関係です。三種類の材料の太さがあまり違わない（式で示す）という条件下なら一次元の熱伝導方程式で近似できます。太さが違うと接触面近傍は1次元では表現できませんまた、ステンレスの端面からしか熱が出ないとすると、大体の条件ではどんどん温度が上昇し定常状態にはならないでしょう。条件も考え直したらいかがですか。

この回答へのお礼

アドバイスありがとうございます。もう少し頭を整理してみます。

お礼日時：2023/09/11 08:30

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2023/09/10 11:21

理論的に求めるのはほぼ不可能です。

まずは「実験」を繰り返して様々な条件でのデータを採取し、それをもとに「理論に基づく実験式」を作るのが現実的かと思います。
（あるいは、実際の使用条件が固定しているのであれば「実験データ」だけでも十分）

仮に「理論式」を作るにしても、さまざまな「初期条件」「境界条件」「外乱の影響」は実験で求めるしかありません。

この回答へのお礼

貴重なアドバイスありがとうございました。確かに実験で検証するというのが早道かなとも思います4．検討してみます。

お礼日時：2023/09/11 08:32

No.1 回答者： himagene 回答日時： 2023/09/10 09:55

これを一次元定常熱伝導で解こうとするのには無理があります。

極々特殊な条件以外には解析的には解けません。数値的に特にしても条件が少な過ぎます。

この回答へのお礼

アドバイスありがとうございました。

お礼日時：2023/09/11 08:32