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No.11ベストアンサー
- 回答日時:
#1の誤りを訂正すると以下の通り
任意の点aに対して
任意のε>0に対して
M=|4a^3|+|6a^2|+|4a|+1
0<δ<min(ε/M,1) となるδがある
|x-a|<δとなる任意のxに対して
h=x-a
とすると
|h|=|x-a|<δ<1
だから
|f(x)-f(a)|
=|(a+h)^4-a^4|
=|4a^3+6ha^2+4ah^2+h^3||h|
≦(|4a^3|+|6a^2||h|+|4a||h|^2+|h|^3)|h|
<(|4a^3|+|6a^2|+|4a|+1)δ
<Mε/M
=ε
----------------------------
なお
「
0<δ<min(ε/M,1) となるδがある
」
は
「
δ=min(ε/M,1) となるδがある
」
でも正しい
No.12
- 回答日時:
そこ、そんなに拘るとこ?
まあ、εδ論法を行うとき
δ = (εの式) を具体的に与える必要はなく、
δ の存在だけ言えば十分
ってことを理解してくれれば、
とりあえず私としては満足かな。
No.10
- 回答日時:
食い下がるねえ...
計算ズラズラの答案を防衛するには、それが必要なのかな?
←No.8
No.1 の M は上限じゃなく上界だよ。
←No.9
そりゃそうだ。読んて解ることだと思うけど。
No.9
- 回答日時:
#1の
「
所与の ε > 0 に対して 0 < δ < ε/M の範囲に δ をとれば
|x - a| = |h| < δ ⇒ |f(x) - f(a)| < ε が成り立つ。
」
は誤りで
正しくは
「
所与の ε > 0 に対して 0 < δ < min(ε/M,D) の範囲に δ をとれば
|x - a| = |h| < δ ⇒ |f(x) - f(a)| < ε が成り立つ。
」
です
なぜなら
|x - a| = |h| < δ < ε/M
だからといって
|h|<D
となるとは限らないから
No.8
- 回答日時:
関数
f:R→R
任意のa∈R
任意のε>0に対して
あるδ>0が存在して
|x-a|<δとなる任意のxに対して
|f(x)-f(a)|<ε
となるとき
lim_{x→a}f(x)=f(a)
と
表し
fは任意の点a∈Rで連続であるという
#1の場合のように
D>0
0<δ<ε/(|4a^3|+|6a^2|D+|4a|D^2+D^3) となるδがある
というように
δの上限を ε の関数
ε/(|4a^3|+|6a^2|D+|4a|D^2+D^3)
として表示する必要などまったく無い
#4の場合のように
εδ式を満たす
δが
1つ
δ=ε/{ε+(1+2|a|)^3}
が存在することを示せば十分である
No.7
- 回答日時:
←No.6
よく解らんのだけど、
「条件を満たす δ を式で与える」 ⇔ δ の上界のひとつを ε の式で与える,
「条件を満たす δ の範囲を示す」 ⇔ δ の上限を ε の式で与える
という意味で言ってんのかな? いづれにせよ、
「条件を満たす δ が存在することを示す」だけで
εδ論法による収束性の証明として十分
であることに変わりはないのだが。
例↓
今回の No.1
No.6
- 回答日時:
ちょっとコメント.
状況としては
条件を満たす δ が存在することを示す
↓ (より強い)
条件を満たす δ を式で与える
↓ (より強い)
条件を満たす δ の範囲を示す
となり, ε-δ 論法では一番上の「条件を満たす δ が存在することを示す」だけで十分なので, 実際に δ の式を見せる必要はない.
ただ, δ の式が書けるなら書いちゃった方が簡単に証明できるとは思う.
「δ を ε の式で書く」ことと「δ の上限を ε の関数として表示する」こととは違う話のはずなんだけど, ね.
No.5
- 回答日時:
> 違うんですか??
εδ式を満たす δ が存在することを示せば十分で、
δ の上限を ε の関数として表示する必要などまったく無い。
No.1 の証明を参照。
No.4
- 回答日時:
f(x)=x^4
任意のε>0に対して
δ=ε/{ε+(1+2|a|)^3}とすると
|x-a|<δとなる任意のxに対して
δ=ε/{ε+(1+2|a|)^3}<1
|x|<|a|+δ<|a|+1
x^2<(1+|a|)^2=1+2|a|+a^2
|x+a|≦|x|+|a|<1+2|a|
x^2+a^2<1+2|a|+2a^2≦(1+2|a|)^2
δ=ε/{ε+(1+2|a|)^3}<ε/(1+2|a|)^3
だから
|f(x)-f(a)|
=|x^4-a^4|
=|x-a||x+a||x^2+a^2|
<δ(1+2|a|)^3
<ε(1+2|a|)^3/(1+2|a|)^3
=ε
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