群論に関して, 明らかとしか思えない命題に関して質問です

以下は代数学を扱った数学専門書（著者は数学専門の大学教授）に載っている問題を, 一字一句間違えずに書き写したものです.

群 G に有限指数の部分群が存在すれば, 有限指数の正規部分群も存在することを証明せよ.

この問題に関して質問なのですが,
(1) G 自身も G の部分群であるから, 群 G に有限指数の部分群が存在するのは当然であり, 与えられた条件は何の役にも立たないと思うのですが, 私が何か勘違いをしているのでしょうか.
(2) (1) と同様に, G 自身も G の正規部分群であるから, 群 G に有限指数の正規部分群が存在するのは当然であり, 証明せよと言われても「明らか」としか答えようがないと思うのですが, やはり私の勘違いなのでしょうか.
(3) (1) と (2) に関して, 私が勘違いをしていない場合, 著者は本当はどういう命題を証明させたいのか, また, その命題をどのように証明すればいいのか, アドバイスをお願いします.

質問者からの補足コメント

• 

  「部分群」を「真部分群」に, また「正規部分群」を「真の正規部分群」に置き換えた命題は, 割と簡単に証明できました.
  ありがとうございました.

  No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2024/02/11 07:49

No.2 ベストアンサー 回答者： yukkurine 回答日時： 2024/02/10 19:59

代数入門(裳華房、掘田良之著)の1章の章末問題に似た問題があります。

『群Gが指数有限の真部分群をもてば、指数有限の真の正規部分群をもつ。』
「真の」という条件が付いています。その本のミスプリかもしれません。

この回答へのお礼

やはり, 誤植でしょうか.
で, その書籍には, 何かヒントらしきことは書かれていないのでしょうか.

お礼日時：2024/02/10 22:38

No.5 回答者： finalbento 回答日時： 2024/02/10 22:44

お礼コメントに対して一言だけ。

私が書いた事は群論だけでなく数学一般に関するものですから、群論について全く知らなかったとしても答える事は可能です。

それから「証明せよ」と言われていると言う事はとりも直さず「定義でもなければ公理でもない(∴証明が必要)」と言う事ですから、少なくとも質問者様のお考えである「明らか」とは言えない事になるはずです。だからこそ「証明せよ」と言われているわけですから。

この回答へのお礼

貴方は数学一般に関しても, まったく知識がないと思われます.
数学の専門書を読んだことのある人なら, 命題の証明や演習問題の解答として, "trivial", "clear", "plain", "obvious" としか書かれていないことが珍しくないのを知っているはずです.
"Prove ～" と出題しておきながら, 模範解答を "trivial" の一語で済ませることが許されるのです.
ずっと以前から続いていることですが, 数学カテゴリには数学の門外漢が多数常駐して, 自分には手の負えない質問に平気で回答する.
身の程知らずです.

お礼日時：2024/02/10 23:11

No.4 回答者： yukkurine 回答日時： 2024/02/10 22:16

No.3の回答者は何か勘違いしているようですが、Gが無限群であってもGをGで割った指数は有限([G:G]=1)なので、質問者は有限群と勘違いしているわけではないのでは。

この回答へのお礼

仰る通りです.
ただ, 何か勘違いしているのではなく, 単に数学を知らないだけだと思います.

お礼日時：2024/02/10 22:30

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/02/10 21:44

「群 G に有限指数の部分群が存在すれば, 有限指数の正規部分群も存在する」

部分群が有限群だと仮定してるが、G そのものが有限だとは誰も言ってない。
(1)も(2)も、G が有限群の場合の話をしており、質問の問題とは関係がない。

この回答へのお礼

相変わらず, 救いがたい数学音痴のようですね.
「(1)も(2)も、G が有限群の場合の話をしており」って, 何の冗談ですか.
私は G が有限群などと, 決め付けてはいません.
もしかして, 指数と位数の違いをご存知ないのでしょうか.

回答内容はともかくとして, 回答してくださったことにはお礼申し上げます.

お礼日時：2024/02/10 22:16

No.1 回答者： finalbento 回答日時： 2024/02/10 19:23

群論には全く詳しくありませんが証明について少しだけ。

「証明せよと言われても明らかとしか答えようがない」と言う事は絶対にありません。数学において証明が必要ない命題は定義と公理だけであって、それ以外の命題はどんなにアホみたいに分かり切った内容であったとしても定理として必ず証明が必要です。

cf:形式論理学において「AはAである」と言う命題の形式を同一律と言いますが、同一律を公理として採用している公理系はないようなのでこれもまた証明が必要ですし、証明を実際に読んだ事もあります。

この回答へのお礼

「群論には全く詳しく」ない人が, どうして回答してくださるのでしょうか.
これは群論に関する質問です.
そして, 貴方は文章読解能力も低いようですね.
私は G 自身が G の有限指数の正規部分群だから, この命題は明らかである, と言っているのです.
証明が必要ないとは, 言っていません.

お礼日時：2024/02/10 22:25