不等式でx≧0,y≧0,x^2+y^2≦4で表される領城をDとする。領域D上の点（x,y）に対して，

不等式でx≧0,y≧0,x^2+y^2≦4で表される領城をDとする。領域D上の点（x,y）に対して，x+yの最大値、最小値を求めよ。
x+y=kとおき、答えは最小値0,最大値2√2です。

解説にはy=xと円の式により接点(√2,√2)とあります。

①y=xはx+y=kと垂直に交わる時、このy=xは円の接線と同じところにくるということが言いたいのかもしれませんが、なぜ直交するとちょうど接点のところにいくのでしょうか。円の定理でそのようなものがありましたらそれも教えてください。この問題が円とx+y=kとの接点=最大値となるのはイメージできます。

②他に(√2,√2)の出し方があれば教えてください。

よろしくお願いします。

質問者からの補足コメント

• ご回答ありがとうございます。第一象限に四分円を書いて、x+y=kと円の接点のときにk=切片が最大になることは分かります。
  しかしその接点の座標の求め方が分からないです。なぜy=-x+kと円の接点のところに、直交するy=xが突き刺さるのかイメージできませんでした。

    補足日時：2024/02/13 14:11

No.3 ベストアンサー 回答者： masterkoto 回答日時： 2024/02/13 14:23

円とy＝-x+K…①が接するなら

接点を通る直径と①は接点で直交する
と言うのは理解されてますよね…
で、この直径は円の中心を通るから
y＝axです
さらに、この直径は①と直交なので
a＝1
すなわち、該当の直径の式はy＝xということです
このy＝xと直線①と円周はいづれも
該当する接点をとおりますから
y＝xと円周の交点が
①と円周の接点となります

また、別解としては
点と直線の距離の公式を利用して、
x+y-K＝0と中心(0、0)の距離が2になるのうなKを求めることが考えられます

この回答へのお礼

中学の学習内容を忘れていました。確かに直交しました。別解も助かります！

お礼日時：2024/02/13 15:11

No.5 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/02/13 18:25

x = r cosθ, y = r sinθ で置換したら？

x ≧ 0, y ≧ 0, x^2 + y^2 ≦ 4　⇔　0 ≦ r ≦ 2, 0 ≦ θ ≦ π/2,
k = x + y = r cosθ + r sinθ = (r/√2)sin(θ + π/2).
になるから、0 ≦ k ≦ √2.
k = 0 となるのは r = 0 のとき、
k = √2 となるのは r = 2, θ = π/4 のとき。

No.4 回答者： masterkoto 回答日時： 2024/02/13 14:27

補足

言葉を変えて言いますと
接点Sを通る
円の接線と
Sを通る円の直径は
Sで直交する
これは理解されていると思います

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2024/02/13 14:11

No.1 です。

失礼しました。

（誤）「原点を中心とする半径 √2 の円の内側の、第1象限の部分」

↓

（正）「原点を中心とする半径 2 の円の内側の、第1象限の部分」

ですね。
訂正します。

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2024/02/13 14:01

＞x≧0,y≧0,x^2+y^2≦4で表される領城をDとする

これが、「原点を中心とする半径 √2 の円の内側の、第1象限の部分」だということが分かりますか？

＞x+yの最大値、最小値

これは、
　x + y = k　→　y = -x + k　　　①
という直線の「y 切片 k を最大、最小にする」ということだということが分かりますか？


上の2つが分かれば、図に書いてみて、k が最大、最小となる「直線」を探せばよいだけです。

「直交する」云々は直接は関係ありません。
D の領域をかすめる①を見つければよいだけ。