xについての2次方程式x²-2mx+2m+7=0の解がともに整数となるような整数mをすべて求めよ
という問題の解答でx²-2mx+2m+7=0の解をα,βとするとx=m±√(m²-2m-7)より
α+β=2m、αβ=2m+7
となっているのですが、何が「x=m±√(m²-2m-7)より」なんでしょうか?
「α+β=2m、αβ=2m+7」となるのは分かるのですが、それはx²-2mx+2m+7=0から読み取れることで、x=m±√(m²-2m-7)は必要ないように思います。
なぜ「x=m±√(m²-2m-7)より」が必要なのか教えて欲しいです。
No.8
- 回答日時:
方程式の解が
x=m±√(m^2-2m-7)
なのだから
α=m+√(m^2-2m-7)
β=m-√(m^2-2m-7)
とでもして
α+βとαβを計算すればその式になる、ということ。
無論、解と係数の関係を使ってストレートに出しても構わない。
この解答では解からα+βとαβを計算している、ということ。
No.7
- 回答日時:
> なぜ「x=m±√(m²-2m-7)より」が必要なのか教えて欲しいです。
という質問については、No.3 No.4 が回答している。
No.6 の答えは、例によっていつもの規約違反だよ。
丸写しできる解答だから、たぶんベストアンサーになるんだけど。
No.6
- 回答日時:
x=m±√(m²-2m-7)が整数となるために必要
x^2-2mx+2m+7=0
(x-1)(x-2m+1)+8=0
(x-1)(x-2m+1)=-8
xが偶数と仮定すると
x-1は奇数
x-2m+1も奇数
左辺奇数となって右辺が偶数に矛盾するから
xは奇数
x-1は偶数
x-2m+1も偶数
だから
x-1=±2 または x-1=±4
x-1=2のときx-2m+1=-4
x=3
x-1-(x-2m+1)=2m-2=6
2m=8
m=4
x-1=4のときx-2m+1=-2
x=5
x-1-(x-2m+1)=2m-2=6
2m=8
m=4
x-1=-2のときx-2m+1=4
x=-1
x-1-(x-2m+1)=2m-2=-6
2m=-4
m=-2
x-1=-4のときx-2m+1=2
x=-3
x-1-(x-2m+1)=2m-2=-6
2m=-4
m=-2
No.4
- 回答日時:
>なぜ「x=m±√(m²-2m-7)より」が必要なのか教えて欲しいです。
問題文に「解がともに整数となるような整数m」と書いてあるから、
「α+β=2m、αβ=2m+7」だけでは 答えが出せないでしょ。
つまり x=m±√(m²-2m-7) の ルートの中が 整数の2乗になる。
m²-2m-7=(m-1)²-8=s² とすれば 後は見当が付きますよね。
No.3
- 回答日時:
> 何が「x=m±√(m²-2m-7)より」なんでしょうか?
x についての2次方程式 x²-2mx+2m+7=0 の解が、
与えれれた m に対して x=m±√(m²-2m-7) だということ。
その「解答」は、その後
この m±√(m²-2m-7) が整数になる条件を考えている。
まあ、それで正しいは正しいのだけれど...
もっと常識的な解法としては、x²-2mx+2m+7 を平方完成
するために x-m = t とでも置いて、
x²-2mx+2m+7 = (x-m)²-m²+2m+7
= t²-(m-1)²+8
= (t+m-1)(t-m+1)+8.
これが =0 となるために、t+m-1 と t-m+1 が
差が偶数の整数の対 であることから
8 の因数分解を絞ってゆけばよい。
No.2
- 回答日時:
解と係数の関係より「α+β=2m、αβ=2m+7」になるのは確かな事。
問題はそこじゃ無くて、「α、βが共に整数になる様なmを求めよ」なんだ。
「α+β=2m、αβ=2m+7」から、ドーやってα、βが共に整数になる様なmを求めるの??
試行錯誤でやるのかい??
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