数Ⅲの問題が分かりません

(1)1<m≦nを満たす自然数m,nに対し、不等式∫[m→n+1]dx/x < Σ[k=m→n]1/k <∫[m→n+1]dx/(x-1) が成り立つことを証明せよ
(2) Σ[k=1→2020]1/kの整数部分を求めよ。ただしlog2=0.69, log3=1.10, log2020=7.61とする

質問者からの補足コメント

• こんなに詳しくありがとうございます。
  
  ↓j=k+1,t=x+1とするとk=j-1,x=t-1,dt=dxだから
  
  Σ[j=m→n]1/j<Σ[j=m→n]∫[j→j+1]{1/(t-1)}dt
  
  のところなのですが、k=j-1なのに定積分の範囲のところが∫[j-1→j]にならず∫[j→j+1]になるのは何故でしょうか？

  No.3の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2024/10/23 15:03

No.3 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/10/22 06:16

(1)

1<m≦nを満たす自然数m,nに対し、

m-1≦k≦n となる整数k に対して

k<x<k+1　となるxに対して

1/(k+1)<1/x<1/k

↓各辺を(k→k+1まで)xで積分すると

∫[k→k+1]{1/(k+1)}dx<∫[k→k+1](1/x)dx<∫[k→k+1](1/k)dx
{1/(k+1)}∫[k→k+1]dx<∫[k→k+1](1/x)dx<(1/k)∫[k→k+1]dx

1/(k+1)<∫[k→k+1](1/x)dx<1/k…①

①から
∫[k→k+1](1/x)dx<1/k

↓両辺を(k=m→nまで)加えると

Σ[k=m→n]∫[k→k+1](1/x)dx<Σ[k=m→n]1/k

∫[m→n+1](1/x)dx<Σ[k=m→n]1/k…②

①から
1/(k+1)<∫[k→k+1](1/x)dx

↓両辺を(k=m-1→n-1まで)加えると

1/(k+1)<∫[k→k+1](1/x)dx

Σ[k=m-1→n-1]1/(k+1)<Σ[k=m-1→n-1]∫[k→k+1](1/x)dx

↓j=k+1,t=x+1とするとk=j-1,x=t-1,dt=dxだから

Σ[j=m→n]1/j<Σ[j=m→n]∫[j→j+1]{1/(t-1)}dt
Σ[j=m→n]1/j<∫[m→n+1]{1/(t-1)}dt

↓jをkに,tをxに置き換えると

Σ[k=m→n]1/k<∫[m→n+1]{1/(x-1)}dx

↓これと②から

∫[m→n+1](1/x)dx < Σ[k=m→n]1/k <∫[m→n+1]{1/(x-1)}dx

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。すみません、教えてgoo初心者で質問？を書く場所を間違えました（補足に書いてしまいました）

↓j=k+1,t=x+1とするとk=j-1,x=t-1,dt=dxだから

Σ[j=m→n]1/j<Σ[j=m→n]∫[j→j+1]{1/(t-1)}dt

のところなのですが、k=j-1なのに定積分の範囲のところが∫[j-1→j]にならず∫[j→j+1]になるのは何故でしょうか？

「お礼」の趣旨に合ってなくてすみません。

お礼日時：2024/10/23 15:09

No.7 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/10/23 20:13

∫[k→k+1](1/x)dx

の
k→k+1
と
は

x=k～k+1

という意味で

k=j-1
x=t-1

だから

(t-1)=(j-1)～j

だから

t=j～j+1

だから

∫[j→j+1]{1/(t-1)}dt

No.6 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/10/23 14:59

与えられた log2020 の近似値を利用するために、

Σ の端に小技を使うのを忘れずにね。

No.5 回答者： tknakamuri 回答日時： 2024/10/22 23:32

(1)は範囲xの[a,b]で f(x)≦g(x)≦h(x)

なら、f(x)≠g(x)となるx、g(x)≠h(x)となるxが範囲内に有れば存在すれば
∫[a→b]f(x)dx<∫[a→b]g(x)dx<∫[a→b]h(x)dx
を使う。∑はg(x)を工夫すれば容易に積分に置き換えられる。
(1)が求まれば(2)は計算するだけ。

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/10/22 16:19

(2)整数部分は8

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/10/21 23:32

(1)

最右辺の x を一旦 x-1 = t とかで置換すると、示すべき式が
Σ[k=m→n] 1/(k+1) < ∫[m→n+1] dx/x < Σ[k=m→n] 1/k
に変形できて、少し見易くなる。
(2)
m = 1, n = 2020 を (1) の式に代入するだけ。
∫dx/x の積分はたいてい誰もが覚えてるとして、
その後の計算がエグいな...
あ、そか、n = 2020 じゃなく n = 2019 でやって
1/2020 は Σ から分離するのか。

No.1 回答者： stomachman 回答日時： 2024/10/21 21:37

(1)はグラフを描けば、どうすればいいかわかると思う。

(2)は(1)を利用するんで、1/xの積分が出来ないと。