No.3ベストアンサー
- 回答日時:
(1)
1<m≦nを満たす自然数m,nに対し、
m-1≦k≦n となる整数k に対して
k<x<k+1 となるxに対して
1/(k+1)<1/x<1/k
↓各辺を(k→k+1まで)xで積分すると
∫[k→k+1]{1/(k+1)}dx<∫[k→k+1](1/x)dx<∫[k→k+1](1/k)dx
{1/(k+1)}∫[k→k+1]dx<∫[k→k+1](1/x)dx<(1/k)∫[k→k+1]dx
1/(k+1)<∫[k→k+1](1/x)dx<1/k…①
①から
∫[k→k+1](1/x)dx<1/k
↓両辺を(k=m→nまで)加えると
Σ[k=m→n]∫[k→k+1](1/x)dx<Σ[k=m→n]1/k
∫[m→n+1](1/x)dx<Σ[k=m→n]1/k…②
①から
1/(k+1)<∫[k→k+1](1/x)dx
↓両辺を(k=m-1→n-1まで)加えると
1/(k+1)<∫[k→k+1](1/x)dx
Σ[k=m-1→n-1]1/(k+1)<Σ[k=m-1→n-1]∫[k→k+1](1/x)dx
↓j=k+1,t=x+1とするとk=j-1,x=t-1,dt=dxだから
Σ[j=m→n]1/j<Σ[j=m→n]∫[j→j+1]{1/(t-1)}dt
Σ[j=m→n]1/j<∫[m→n+1]{1/(t-1)}dt
↓jをkに,tをxに置き換えると
Σ[k=m→n]1/k<∫[m→n+1]{1/(x-1)}dx
↓これと②から
∫[m→n+1](1/x)dx < Σ[k=m→n]1/k <∫[m→n+1]{1/(x-1)}dx
回答ありがとうございます。すみません、教えてgoo初心者で質問?を書く場所を間違えました(補足に書いてしまいました)
↓j=k+1,t=x+1とするとk=j-1,x=t-1,dt=dxだから
Σ[j=m→n]1/j<Σ[j=m→n]∫[j→j+1]{1/(t-1)}dt
のところなのですが、k=j-1なのに定積分の範囲のところが∫[j-1→j]にならず∫[j→j+1]になるのは何故でしょうか?
「お礼」の趣旨に合ってなくてすみません。
No.7
- 回答日時:
∫[k→k+1](1/x)dx
の
k→k+1
と
は
x=k~k+1
という意味で
k=j-1
x=t-1
だから
(t-1)=(j-1)~j
だから
t=j~j+1
だから
∫[j→j+1]{1/(t-1)}dt
No.5
- 回答日時:
(1)は範囲xの[a,b]で f(x)≦g(x)≦h(x)
なら、f(x)≠g(x)となるx、g(x)≠h(x)となるxが範囲内に有れば存在すれば
∫[a→b]f(x)dx<∫[a→b]g(x)dx<∫[a→b]h(x)dx
を使う。∑はg(x)を工夫すれば容易に積分に置き換えられる。
(1)が求まれば(2)は計算するだけ。
No.2
- 回答日時:
(1)
最右辺の x を一旦 x-1 = t とかで置換すると、示すべき式が
Σ[k=m→n] 1/(k+1) < ∫[m→n+1] dx/x < Σ[k=m→n] 1/k
に変形できて、少し見易くなる。
(2)
m = 1, n = 2020 を (1) の式に代入するだけ。
∫dx/x の積分はたいてい誰もが覚えてるとして、
その後の計算がエグいな...
あ、そか、n = 2020 じゃなく n = 2019 でやって
1/2020 は Σ から分離するのか。
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↓j=k+1,t=x+1とするとk=j-1,x=t-1,dt=dxだから
Σ[j=m→n]1/j<Σ[j=m→n]∫[j→j+1]{1/(t-1)}dt
のところなのですが、k=j-1なのに定積分の範囲のところが∫[j-1→j]にならず∫[j→j+1]になるのは何故でしょうか?