SPI 食塩水の等量交換 完全文系です。食塩水の問題は昔から苦手でした。 何グラム何パーセントの食塩

SPI 食塩水の等量交換

完全文系です。食塩水の問題は昔から苦手でした。

何グラム何パーセントの食塩水Aと何グラム何パーセントの食塩水B(濃度と重さ違う)から同じ量の食塩水を出してAから出したものをBへ、Bから出したものをAに入れ替えると、それぞれの食塩水が同じ濃度になりました。…という問題が、解説見ようが何しようがさっぱりわかりません。
濃度聞かれたらとりあえずAとB全部混ぜたのと同じ濃度になるということは参考書から覚えましたが、理由は分かりません。
そして何グラム取り出したらそうなるか、という問題はもっとわけが分かりません。
助けてください。

質問者からの補足コメント

• 食塩と食塩水と濃度の関係の公式は分かってるので単にそれ使うだけの単純なヤツならわかります。
  ただしここまで来ちゃうと複雑すぎて…

    補足日時：2025/04/08 23:59

No.8 回答者： ssawatake 回答日時： 2025/04/10 10:07

難しいですか？

公式は余り関係無くて、重要なのは定義ですけど。

食塩水濃度の場合は、重量%濃度の定義です。

あとは、どう混ぜようが、どう分けようが、塩の総重量はいつも同じで変わら無いって事だけです。

この2個だけで食塩水問題は全て解けます。

No.7 回答者： tknakamuri 回答日時： 2025/04/09 10:02

濃度(%)=塩の質量÷食塩水の質量×100

=塩の質量÷(塩の質量+水の質量)×100

塩の質量 = 食塩水の質量×濃度(%)÷100

さえわかっていれば、迷うところはないはず。
x(g)a%の食塩水とy(g)b%の食塩水のh(g)を交換すると
交換後の濃度はそれぞれ

{x(a/100) - h(a/100) + h(b/100)}/(x-h+h)
{y(b/100) - h(b/100) + h(a/100)}/(y-h+h)
#分子は塩の質量、分母は食塩水の質量

となるのは濃度の物理的な意味を考えれば当たり前のことで
公式がどうのこうの言っているうちは解けないと思います。

この二つが等しいと置いて式を整理すれば x , y と h との関係が
求まります。

xy(a-b)=(a-b)h(x+y)
と整理できるので

h = xy/(x+y) (但し a ≠ b)
a=b の時は h は不定(元々同じ濃度なら一部交換しても濃度は変化しない)

濃度a, b が x , y と h との関係とはほぼ無関係になるのは
興味深いですね。

また物理的に h ≦ x, h ≦ y という制約が解の存在を制限するか
検討してみるのも面白そう。

No.6 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/04/09 09:20

算数の問題を考える上で大切なのは、「変わらないものは何か？」ということです。

不変量に注目するというのは、数学でも重要な考え方です。

食塩水を混合したり、食塩や水を加えたりすると、濃度は様々に変化します。
しかし、加える前後で食塩や水の総量は変化しません。
食塩水Aと食塩水Bを混ぜたとき、混合液に含まれる食塩の量は
Aに含まれていた食塩の量とBに含まれていた食塩の量の合計です。
混合によって、食塩の総量は変わらないのです。
水についても、同じことが言えます。
これを使って、食塩と水のそれぞれについて量の保存を式で表現し、
あとは一次方程式を解くだけです。

算数だと、方程式を扱わないので、立式の部分と
方程式を解く部分の切り分けがつかない
何やっってんだか解りにくい説明になりがちですが、
SPIを受けるってことは、中学は卒業していますよね？
方程式が扱えれば、問題の内容を考えて式を立てる部分と
方程式を機械的に解く作業とを分けて見ることができるはずです。

No.5 回答者： mtrajcp 回答日時： 2025/04/09 05:56

(x)g(a)%の食塩水Aと

(y)g(b)%の食塩水Bから

同じ量(z)gの食塩水を出して
Aから出したものをBへ
Bから出したものをAに入れ替えると

Bの食塩の量
=
AからBへの食塩の量
{(z)g}*{(a)%}
+
Bに残った食塩の量
{(y-z)g}*{(b)%}
だから

Bの食塩水の濃度
=
({(z)g}*{(a)%}+{(y-z)g}*{(b)%})/y

Aの食塩の量
=
BからAへの食塩の量
{(z)g}*{(b)%}
+
Aに残った食塩の量
{(x-z)g}*{(a)%}
だから

Aの食塩水の濃度
=
({(z)g}*{(b)%}+{(x-z)g}*{(a)%})/x
=
Bの食塩水の濃度
=
({(z)g}*{(a)%}+{(y-z)g}*{(b)%})/y

{zb+(x-z)a}/x={za+(y-z)b}/y
y{zb+(x-z)a}=x{za+(y-z)b}
yzb+y(x-z)a=xza+x(y-z)b
yzb+yxa-yza=xza+xyb-xzb
yxa+yz(b-a)=xyb+xz(a-b)
z(x+y)(b-a)=xy(b-a)
b≠aのとき
z(x+y)=xy
∴
z=xy/(x+y)

No.4 回答者： yhr2 回答日時： 2025/04/09 00:06

No.2 です。

「補足」について。

＞単にそれ使うだけの単純なヤツならわかります。
＞ただしここまで来ちゃうと複雑すぎて…

要するに、SPI として見たいのは「濃度計算」ではなく、与えられた条件をきちんと「分析、分解、整理、順序立て」できるかどうかなのですよ。

「ここまで来ちゃうと複雑すぎて…」をどのように論理的に整理できるかの能力を見たいのです。

No.3 回答者： PrettyPretty 回答日時： 2025/04/08 23:15

すんません。

1です。

no2さんのご指摘通り、体積でなくて重さでした。
no2さん、ありがとうございます。

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2025/04/08 22:59

通常使う「濃度」は、「重さの割合」です。

「体積」は使いません。

「食塩水○○グラム」の中に「食塩△グラム」が含まれているときの濃度は
　濃度 = △/○○
です。

そのとき、「食塩水○○グラム」は
・食塩△グラム
が解けているので、それを除いたものが「水」ということです。
つまり
・水：○○ - △ グラム
ということになります。

このカラクリさえ理解できれば、どんな「濃度」でも、「食塩を加える」とか「水を加える」と言われても、簡単に濃度を計算できます。

また、「濃度」は必ず「１以下」の数値になるので、それを「パーセント」で表わすことが多いです。
「パーセント」にする場合には
　1　→ 100%
　0.5 → 50%
　0.1 → 10%
　0　→ 0%
などに換算すればよいです。
単に全体を「100 のうちいくつ」と換算しただけです。
「100 をかける」などと「機械的」に覚えていると、ひねった問題で引っかかもしれません。

あなたが「濃度が苦手」というのは、そもそもそれがどういうものか、どういう意味かを考えずに、単に「数式、公式で機械的に計算する」という丸暗記だからです。

No.1 回答者： PrettyPretty 回答日時： 2025/04/08 22:35

理系ですが、

食塩水をごちゃごちゃ混ぜまくることなんてそもそもしないので、
社会人向けで、要領さが求められるSPIで出したがる必要性が分からないです。多少時間かければ解けるのに、急がせるから面倒になる。
理系でも、短時間だと慣れてない問題は戸惑います。
（学生のテストなら割合の理解度を測るために必要です）　



本題ですが、
基本的なことですが、食塩水の濃度（%）の求め方は分かりますか?
次に、濃度（%）と体積（mL）から溶けている塩の量（g）は求められますか?

これが、わからないと絶対に解けないです。。。

でも、分からない社会人なんてゴマンといるので
諦めてもいいんじゃないんですかね?
食塩水溶けないだけでSPIが悪くて採用の成否に関わりますかね?