センター対策をしていたらちょっと詰まった問題があったのでよろしくお願いします。(2)で詰まってしまいました。

円に内接する四角形ABCDがあり、AB=5,BC=8、∠ABC=60°、CD=DAである。

                   7√3
(1)AC=7であり、CD=DA=-----(3分の7ルート3) である
                    3

(2)cos∠DABを求めよ

答えは  3√3
  - -----  (マイナス14分の3ルート3)です
      14

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A 回答 (4件)

∠ABD=∠ACD=30度(△ADCは頂角120度の二等辺三角形ですよね?)だから、


∠DAB=150度-∠ADBです。これを求める式に代入。
とりあえずこの問題に取り組むときに△ABDに注目しているはずで、2辺と1対角がわかっていれば正弦定理→2つめの角度の情報もわかる→残りは内角和から考える、と思考の流れをつかめば、決して奇抜な解法ではないと思います。

ちなみに、sin∠ADBからcos∠ADBを求めるときに、これが鋭角であることを示す必要が(記述式ならば)あると思います。(cosの符号確定のため)これはざっくりいうと∠ACBが120度未満であること(△ABCの内角和より)、sin∠ADBが(√3)/2より小さいことから、60度未満であることが言えます。(△BADだけに注目すると、sin∠ADB<(√3)/2だけでは、120度<∠ADB<150度の可能性が消えないので、円周角で∠ACBに移して考えました。)。。。こんな面倒くさいことする必要あるんかいのぉ?

#別解は、学生時代もっぱら中学生ばかり教えていたのでこんな解法になってしまったんですが。(笑)ちなみに、もうひとつ中学生的な考えから別解。

(別解2)BAとCDを延長し、交点をPとすると、△PAD∽△PCBで相似比はAD:BCから既知の値となる。ここからPAとPDの長さを文字でおいて、方程式で解ける。(ここまで中学生。円は相似がいっぱい出現!)
すると、△PADは3辺とも長さが出せたので、あとは余弦定理で。

なんかいろんな解法を考える趣味の問題になってしまいました。すんません(汗)
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この回答へのお礼

補足のことに早速答えてくれありがとうございます。
別解も何とかわかりました。
親切なアドバイスありがとうございました。

お礼日時:2002/01/25 16:24

3度すみません。

(^^;)
cos∠ADBって、∠ACBにうつして△ABCで余弦定理で一発ですね。(笑)
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円の中心をOとする。


点DからBAの延長に垂線をおろしてその足をHとする。
点OからBCに垂線をおろしてその足をIとする。
∠OBC=xとすると、
∠DAH=60°+xとなります。
加法定理では、
cos(a+b)=cos(a)*cos(b)-sin(a)*sin(b)
ですから、
cos(60°+x)=cos(60°)*cos(x)-sin(60°)*sin(x)
となります。
三角形OBIを考えると、
三平方の定理により、OIが求められます。
よって、cos(x)とsin(x)がわかります。
あとは間違わないように計算するだけです。
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この回答へのお礼

ふむふむ。よく解りました。
ありがとうございました。

お礼日時:2002/01/25 16:25

△DABについてわかっている情報から求められそうなところを考えると、


正弦定理でsin∠ADBが求められます。ということはcos∠ADBも求められます。
cos∠DABを∠ADBを用いて加法定理を使えば終わります。

別解。点DからBAの延長に垂線をおろしてその足をHとする。
△DBHは三角定規で、DH=xとすれば、△DAHで三平方の定理でxが求められ、
図形的にcos∠DABが求められます。

この回答への補足

早速のアドバイスありがとうございます。すいません。どうやって加法定理に持ち込むか教えてくれるとありがたいのですが…。

補足日時:2002/01/24 23:21
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