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実験で有効数字などを考える時に対数をとったときは有効数字はどうなるのですか?例えば(5桁)×(5桁)×ln(4桁÷3桁)の場合、有効数字はやっぱり1番小さい3桁になるのですか?

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A 回答 (5件)

 先日読んだ分析化学の教科書「クリスチャン 分析化学 I 基礎」(丸善,第4版,平成元年刊)に記載がありましたので,調べてみました。

出ているのは「第3章 分析データの処理」部分です。

【掛け算と割り算】
 掛け算や割り算の答えの不確かさは演算数の中で最も不確かなもの(最も有効数字の桁数の少ないもの)に支配されます。

 つまり,計算結果の有効数字は「演算数の中で最も有効数字の桁数の少ないものと同じ」になります。

 実際の計算では,一桁余分に計算しておいて,最終の答えを四捨五入します。

【足し算と引き算】
 有効数字は小数点の位置で決ります。つまり,計算結果の有効数字は「演算数の中で最も小数点以下の桁数の少ないものと同じ」になります。

【対数】
 対数から真数への変換またはその逆の場合には,「計算する数と対数の真数は同じ桁数の有効数字」をもちます。仮数部分のゼロはすべて有効になります。

 チョット分かり難いかと思いますので,log[2.0X10^(-3)] を例にとって具体的に説明しましょう。この場合,問題になるのは 2.0 の桁数(2桁)で,log(2.0) の計算結果の有効数字は2桁です。つまり,log(2.0) = 0.30。結果として,log[2.0X10^(-3)] = -3+0.30 = -2.70 となり,有効数字3桁になります。

 仮数から真数に変換する場合も同じで,「計算結果の有効数字は仮数の有効数字と同じ桁数」になります。例えば,0.072(有効数字3桁)の真数は3桁の 1.18 です。

 お書きの (5桁)×(5桁)×ln(4桁÷3桁) であれば,ln の中の (4桁÷3桁) の結果は有効数字3桁ですが,ln 計算の結果は有効数字4桁になる可能性もあります。ですので,全体の有効数字は3桁又は4桁でしょう(どちらになるかは,実際の数値によって変わります)。
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この回答へのお礼

そういう事だったんですか。(゜o゜)ありがとうございました。(^o^)

お礼日時:2002/10/18 23:27

既に十分回答が出ていますが,どんな系にでも応用できる数値解析的な方法を一つ。



例えば,1.23 という有効桁数 3 桁の数字は,1.225 以上,1.235 未満の意味です。これは,1.23 + a * 10^-3 (但し -5 =< a < 5)と置きかえることができます。演算を行った後の有効桁数を調べたい場合,このようにそれぞれの値に変数を加え,この変数を実際に動かしてみて,解がどう変わるかを見れば,解の有効桁数は一目瞭然です。

さて,ご質問の系「(5桁)×(5桁)×ln(4桁÷3桁)」の場合,それぞれの数値に,先ほどの様に変数を付け加えます。

(5桁 + a)×(5桁 + b)×ln{(4桁 + c)÷(3桁 + d)}

a,b,c,d は,それぞれ取りうる値の範囲が決まっていますが,この範囲内で,解との差分がもっとも大きくなる a,b,c,d の組み合わせを探します。これは解析的に解いてもいいですが,エクセルのソルバーなどを用いて数値解を探した方が遥かに簡単でしょう。簡単な系なら,手で値を代入しても問題ないありません。

解は,この差分の桁数の一つ上の桁で四捨五入すればよいことになります。
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この回答へのお礼

ありがとうございました。助かりました。

お礼日時:2002/10/20 11:26

対数の有功桁は.微分方程式を解かないと答えられない(原則小数になります。

)ので.面倒です。

測量関係の「重みつき」の計算あたりを読んでみてください。
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この回答へのお礼

わかりました。ありがとうございました。

お礼日時:2002/10/18 23:29

単純に答えるのはちょっと早計と思います。


例えば、小数点以下や整数のみの場合と違い、対数が存在しているからです。
例えば、4桁÷3桁が丁度整数になったり、計算した対数の値が整数になった場合など様々です。
5桁×1桁の場合、有効桁数が1桁になるとは思えません。
例えば、
12345×5=61725
掛け算の場合は5桁×5桁も5桁×4桁もどちらも有効桁数は5桁だと思います。
結論としてこの場合、5桁が有効桁数だと思います。
ln(4桁÷3桁)を5桁以上で計算すればより正確だと思います。
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この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時:2002/10/20 11:27

もっとも小さいものに合わせます。

例の場合では3桁になります。
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この回答へのお礼

どうもありがとうございました。

お礼日時:2002/10/18 23:28

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こんにちは。

13.7という数は、H+やOH-の個数や濃度ではなく、個数や濃度を表す数の「桁数」を表します。

たとえば、
¥10と¥10,000は、3桁違いますよね。
桁を1つ足して4桁にすると、¥10と¥11 の差ではなく、¥10と¥100,000 の差になります。
これでイメージはわかると思いますが、以下、本件に関して説明します。

[H+][OH-] = 10^(-14)
[H+] = 10^(-14)/[OH-]
ここで、-14という数字と10という数字は正しい、あるいは、精度が極めて高いと考えます。
定義ですからね。

pH = -log[H+] = -log(10^(-14.000…)/[OH-])
 = -log(10^(-14.000…)) + log[OH-]
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 = 14.000・・・ + log[OH-]
 = 14.000・・・ + log0.50
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有効数字は小数第2位まで、すなわち、3桁であるどころか、4桁にするのが正しいです。

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13.7という数は、H+やOH-の個数や濃度ではなく、個数や濃度を表す数の「桁数」を表します。

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¥10と¥10,000は、3桁違いますよね。
桁を1つ足して4桁にすると、¥10と¥11 の差ではなく、¥10と¥100,000 の差になります。
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Q有効数字について

log2=0.30とする。
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   =10^(-0.30)×10^(-10)
   =10^(-log2)×10^(-10)
   =(1/2)×10^(-10)
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有効数字について真面目に考えると、10ではばつになります。

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   =10^(-0.30)×10^(-10)
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   =(1/2)×10^(-10)
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となります。pH=10とpH=10.30では、水素イオン濃度が2倍ちがいます。

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Qlogとln

logとln
logとlnの違いは何ですか??
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大学の数学のテストでlogが出てきた場合は底が10と解釈してよいのでしょうか??
解説お願いします!!

Aベストアンサー

こんにちは。

>>>logとlnの違いは何ですか??

「自然対数」は、natural logarithm の訳語です。
「ln」というのは、「logarithm 。ただし、natural の。」ということで、つまり「自然対数」という意味です。
一方、log というのは、底がeなのか10なのかがはっきりしません。


>>>大学の数学のテストでlogが出てきた場合は底が10と解釈してよいのでしょうか??

数学であれば、底がeの対数(自然対数)です。底が10の対数(常用対数)ではありません。
一方、log は、数学以外であれば不明確な場合があります。

私の大学時代と仕事の経験から言いますと・・・

【eを用いるケース】
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【10を用いるケース】(log または log10 と書きます)
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・pH(水溶液の水素イオン指数・・・酸性・中性・アルカリ性)
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ご参考になれば。

こんにちは。

>>>logとlnの違いは何ですか??

「自然対数」は、natural logarithm の訳語です。
「ln」というのは、「logarithm 。ただし、natural の。」ということで、つまり「自然対数」という意味です。
一方、log というのは、底がeなのか10なのかがはっきりしません。


>>>大学の数学のテストでlogが出てきた場合は底が10と解釈してよいのでしょうか??

数学であれば、底がeの対数(自然対数)です。底が10の対数(常用対数)ではありません。
一方、log は、数学以外であれば不明確な場...続きを読む

Q電子配置について

Ni2+(ニッケルイオン)の電子配置と不対電子を示せという問題で僕は、[Ar]3d64s2と考えたのですが・・・答えは[Ar]3d8となっています。電子軌道は4s軌道が満たされてから3d軌道に入るのではないのですか?よくわからないので教えてください。

Aベストアンサー

> 電子軌道は4s軌道が満たされてから3d軌道に入るのではないのですか?
中性の原子では、そうなりますね(CrとCuは例外)。
ですけど、イオンではそうはならないです。

■考え方その1
遷移金属の陽イオンでは、3d軌道が満たされてから4s軌道に入る、と考えます。これらのイオンの4s軌道はふつう空っぽになりますから、第4周期の1族~12族の金属イオンでは、
 3d電子の数=族番号-イオンの価数
という公式が成り立ちます。

■考え方その2
あるいは、中性の原子を基準に考えて、
 軌道から電子が抜けるときには、4s軌道から先に抜ける。
と覚えるのもいいです。

■Ni2+の場合
はじめの考え方に従うと、ニッケルは10族、イオンの価数は2なので、
 3d電子の数=10-2=8
となって、電子配置は[Ar]3d8になります。
 二番目の考え方では、中性のニッケル原子の電子配置[Ar]3d84s2から、電子を2個抜いたのが2価ニッケルイオンなので、4s軌道から電子を2個抜くと、イオンの電子配置は[Ar]3d8になります(Ni3+ならNi2+の電子配置からさらに1個電子を抜いて、[Ar]3d7になります)。

■考え方が破綻する例
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 第4周期の1族~12族の1価金属イオンで重要なものは、K+とCu+です。この二つのイオンに関しては、考え方その1でも考え方その2でも、正しい電子配置を与えます。

■なぜ中性原子とイオンで電子の詰め方が変わるのか?
カリウム(原子番号19)とカルシウム(原子番号20)では、4s軌道の方が3d軌道よりもエネルギーが低いのですけど、じつは、原子番号が20より大きい原子では、エネルギーの順序が逆転して、4s軌道よりも3d軌道の方がエネルギーが低くなります。
 ですので、「エネルギーが低い軌道から電子を詰めていく」というルールに従えば、Sc,Ti,V,Cr,Mn,...では、4s軌道よりも先に3d軌道に電子を詰めていくことになるのですけど、こうやって作った電子配置は、中性原子(と多くの一価イオン)では、正しい電子配置にはなりません。つまり、原子番号が20より大きい中性原子では、「エネルギーが低い軌道から電子を詰めていく」というルールだけでは、正しい電子配置を予測することができません。
 この困難を乗り越えるためには、本当ならば、「電子と電子の間に働くクーロン反発力」を考えに入れなければならないのですけど、これが結構めんどうな話になります。そこで、めんどうな話を避けるために、少し反則気味なのですけど、「エネルギーが低い軌道から電子を詰めていく」というルールだけを使って正しい電子配置を予測できるように、『原子番号が20より大きい原子でも、4s軌道の方が3d軌道よりもエネルギーが低い』ということにしておいて、4s軌道が満たされてから3d軌道に電子が入る、という説明がなされます。
 陽イオンでは、中性原子に比べて電子が少なくなっていますので、電子と電子の間に働くクーロン反発力は、中性原子のそれと比べて小さくなります。そのため、クーロン反発の話を無視しても、正しい電子配置を得ることができます(一価の陽イオンは除く)。本来、4s軌道よりも3d軌道の方がエネルギーが低いのですから、3d軌道が満たされてから4s軌道に電子が入る、ということになります。

■まとめ
中性原子では、4s軌道の方が3d軌道よりもエネルギーが低いので、4s軌道が満たされてから3d軌道に電子が入る。
陽イオンでは、4s軌道よりも3d軌道の方がエネルギーが低いので、3d軌道が満たされてから4s軌道に電子が入る。
中性原子と陽イオンで軌道の順序が変わるのは、電子と電子の間に働くクーロン反発力が陽イオンでは小さくなるからである。

> 電子軌道は4s軌道が満たされてから3d軌道に入るのではないのですか?
中性の原子では、そうなりますね(CrとCuは例外)。
ですけど、イオンではそうはならないです。

■考え方その1
遷移金属の陽イオンでは、3d軌道が満たされてから4s軌道に入る、と考えます。これらのイオンの4s軌道はふつう空っぽになりますから、第4周期の1族~12族の金属イオンでは、
 3d電子の数=族番号-イオンの価数
という公式が成り立ちます。

■考え方その2
あるいは、中性の原子を基準に考えて、
 軌道から電子が...続きを読む

Qキレート滴定について。

度々失礼します。

キレート滴定の実験で、溶液のpHを緩衝溶液で特定のpH範囲に調整しなければならないのはどうしてでしょうか?
どなたか解る方教えてください。

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理由1:金属イオンとキレートが結合する強さ(安定度定数)は、pHによって変化する。
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理由3:キレート剤は酸であり、金属イオンと結合する際、水素イオンを放出すし、溶液のpHを変化させる可能性がある。
 このため、溶液にpH緩衝性を持たせている。

参考:少し前の質問
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=857044

Qエクセルで片対数グラフを作る

エクセルで片対数グラフを作る方法を詳しく教えてください。お願いします。

Aベストアンサー

グラフの数値軸のところで右クリックして
軸の書式設定(O)→目盛(タブ名)

対数目盛を表示する(L)
にチェックを入れてください。

Q結合性軌道と反結合性軌道とは?

結合性軌道と反結合性軌道とはどういうものなのでしょうか?
調べてみたのですが少し専門的で理解できませんでした。
初心者にも分かる程度にご教授お願いいたします。

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Aベストアンサー

分子の化学結合理論で、分子軌道法という理論の中で使われます。
文だけで分かりづらいと思うので画像をご覧ください。

まず、簡単に水素原子2つから水素分子1つができる過程を考えます。
それぞれの水素は1s軌道に電子を1つずつ持っています。
この2つの1s軌道は相互作用し、エネルギーの異なる2つの軌道ができます。
このときエネルギーの低い方の軌道は、2つの軌道の電子波の位相(波動関数の符号)を合わせて重なります。
すると重なった部分(2つの原子間)の電子密度が高くなり、この軌道の電子は2つの原子核を引き寄せ結合を生成しますから、「結合性軌道」と呼ばれます。
しかしエネルギーの高い方の軌道では、2つの軌道の電子波は位相を逆向きにして重なるのです。
すると、重なった部分の電子密度は低くなり、2つの原子間とは反対方向の電子密度が高くなります。
結果、この軌道はそれぞれの原子を結合とは逆向きに引き離し、結合を破壊する性質を持つので「反結合性軌道」と呼ばれます。

水素分子H2では、このように2つの1s軌道から結合性軌道・反結合性軌道ができます。
電子は合わせて2つです。パウリの原理に従い、エネルギーの低い軌道から電子を詰めていくと、2つの原子はどちらも結合性軌道に位置します。
反結合性軌道には電子は入っていません。

結合次数は (結合性軌道中の電子 + 反結合性軌道中の電子)/2 で求められます。水素分子の結合次数は1となります。
水素分子の結合は単結合である、ということに一致していますね。

分子軌道法はこのように考えます。

分子の化学結合理論で、分子軌道法という理論の中で使われます。
文だけで分かりづらいと思うので画像をご覧ください。

まず、簡単に水素原子2つから水素分子1つができる過程を考えます。
それぞれの水素は1s軌道に電子を1つずつ持っています。
この2つの1s軌道は相互作用し、エネルギーの異なる2つの軌道ができます。
このときエネルギーの低い方の軌道は、2つの軌道の電子波の位相(波動関数の符号)を合わせて重なります。
すると重なった部分(2つの原子間)の電子密度が高くなり、この軌道の電子は2...続きを読む

Q波長(nm)をエネルギー(ev)に変換する式は?

波長(nm)をエネルギー(ev)に変換する式を知っていたら是非とも教えて欲しいのですが。
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No1 の回答の式より
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となります。
波長が nm 単位なら E = hc×10^9/eλ です。
あとは、
 h = 6.626*10^-34[J・s]
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 c = 2.998*10^8[m/s]
などの値より、
 E≒1240/λ[eV]
となります。

>例えば540nmでは2.33eVになると論文には書いてあるのですが
>合っているのでしょうか?
λに 540[nm] を代入すると
 E = 1240/540 = 2.30[eV]
でちょっとずれてます。
式はあっているはずです。

Qエクセルで計算すると2.43E-19などと表示される。Eとは何ですか?

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エクセルの回帰分析をすると有意水準で2.43E-19などと表示されますが
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また、回帰分析の数字の意味が良く分からないのですが、
皆さんは独学されましたか?それとも講座などをうけたのでしょうか?

回帰分析でR2(決定係数)しかみていないのですが
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本を読んだのですがいまいち難しくて分かりません。
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よろしくお願いします。

Aベストアンサー

★回答
・最初に『回帰分析』をここで説明するのは少し大変なので『E』のみ説明します。
・回答者 No.1 ~ No.3 さんと同じく『指数表記』の『Exponent』ですよ。
・『指数』って分かりますか?
・10→1.0E+1(1.0×10の1乗)→×10倍
・100→1.0E+2(1.0×10の2乗)→×100倍
・1000→1.0E+3(1.0×10の3乗)→×1000倍
・0.1→1.0E-1(1.0×1/10の1乗)→×1/10倍→÷10
・0.01→1.0E-2(1.0×1/10の2乗)→×1/100倍→÷100
・0.001→1.0E-3(1.0×1/10の3乗)→×1/1000倍→÷1000
・になります。ようするに 10 を n 乗すると元の数字になるための指数表記のことですよ。
・よって、『2.43E-19』とは?
 2.43×1/(10の19乗)で、
 2.43×1/10000000000000000000となり、
 2.43×0.0000000000000000001だから、
 0.000000000000000000243という数値を意味します。

補足:
・E+数値は 10、100、1000 という大きい数を表します。
・E-数値は 0.1、0.01、0.001 という小さい数を表します。
・数学では『2.43×10』の次に、小さい数字で上に『19』と表示します。→http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8C%87%E6%95%B0%E8%A1%A8%E8%A8%98
・最後に『回帰分析』とは何?下の『参考URL』をどうぞ。→『数学』カテゴリで質問してみては?

参考URL:http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9B%9E%E5%B8%B0%E5%88%86%E6%9E%90

★回答
・最初に『回帰分析』をここで説明するのは少し大変なので『E』のみ説明します。
・回答者 No.1 ~ No.3 さんと同じく『指数表記』の『Exponent』ですよ。
・『指数』って分かりますか?
・10→1.0E+1(1.0×10の1乗)→×10倍
・100→1.0E+2(1.0×10の2乗)→×100倍
・1000→1.0E+3(1.0×10の3乗)→×1000倍
・0.1→1.0E-1(1.0×1/10の1乗)→×1/10倍→÷10
・0.01→1.0E-2(1.0×1/10の2乗)→×1/100倍→÷100
・0.001→1.0E-3(1.0×1/10の3乗)→×1/1000倍→÷1000
・になります。ようするに 10 を n 乗すると元の数字になるた...続きを読む


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