No.2
- 回答日時:
√(4x^2 -y^2)のyについての不定積分は公式を使って
(1/2){y√(4x^2-y^2) + 4x^2sin^(-1)(y/2x)}
これをy:0→xで定積分
結果をxについて積分(x:0→1)
どうもご回答ありがとうございます。
自分の勉強不足で申し訳ないですが、
どの公式をどのように使えば上式になるか
教えていただけると助かります。
No.4ベストアンサー
- 回答日時:
>∬D√(4x^2-y^2) dxdy D: 0≦y≦x≦1
=∫[0→1]dx・∫[0→x]√(4x^2-y^2)dy
>√(4x^2-y^2)=2√(1-y^2/4x^2)=2√(1-(y/2x)^2)
>y/2x=sinθとすると y=2xsinθ dy=2xcosθdθ
続きから、
y=2xsinθを代入して、
√(4x^2-y^2)=2x√(1-sin^2θ)=2xcosθ
y:0→xは、θ:0→π/6
∫[0→1]dx・∫[0→x]√(4x^2-y^2)dy
=∫[0→1]dx・∫[0→π/6]2xcosθ・2xcosθdθ
=∫[0→1]4x^2dx・∫[0→π/6]cos^2θdθ
ここで、2倍角の公式より、
∫[0→π/6]cos^2θdθ
=∫[0→π/6](1/2)(1+cos2θ)dθ
=(1/2)[θ+(1/2)sin2θ][0→π/6]
=(1/2){π/6+(1/2)sin(π/3)}
=(1/2)(π/6+√3/4)
∫[0→1]4x^2dx・∫[0→π/6]cos^2θdθ
=∫[0→1]4x^2×{(1/2)(π/6+√3/4)}dx
=4×{(1/2)(π/6+√3/4)}・∫[0→1]x^2dx
=4×{(1/2)(π/6+√3/4)}×(1/3)
=(1/18)(3√3+2π)
でどうでしょうか?
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