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この問題の解き方を教えて下さい。

ある振り子の周期を火星上と地球上で測定した。
その結果、火星上で測定した周期は地球上で測定した値の1.6倍であった。
火星の質量は地球の質量の何倍か?
但し火星の半径は地球の1/2倍とせよ

gooドクター

A 回答 (2件)

1.振り子の周期から重力加速度の比を導く



単振り子の周期の公式は知っていますか?
単振り子の周期Tは、重力加速度g、振り子の長さl、円周率πを用いて
T=2π√(l/g)
で与えられます。ここでは、πとlは一定ですので比で考えるとよいでしょう。
すなわち、
T(火星)/T(地球)=√(g(地球)/g(火星))=1.6
となります。従って、
g(地球)=2.56g(火星)
という関係式が得られます。



2.万有引力の法則から、惑星質量と重力加速度の関係式を導く

次いで、万有引力の法則を考えましょう。

1)地球について
地球の半径を2Rとすると、地表での重力は万有引力に等しいですから(厳密には自転による遠心力・コリオリ力が絡みますが、無視できる程度に小さいとします)
mg(地球)=G Mm/(4R^2)
という関係式が成立します。ただし、Mは地球の質量です。両辺をmで割れば
g(地球)=G M/(4R^2)
となります。

2)火星について
火星の半径は地球の半径の半分ですのでRですね。火星の質量をM'とすると、同じく万有引力の法則から
g(火星)=G M'/R^2
が成立します。



3.導いた式を解く
後は、導いた式を解くだけです。万有引力の式を重力加速度の比の式に代入して、解きましょう。
G M/(4R^2)=2.56G M'/R^2
共通する変数を消去して
M=10.24M'
つまり、火星の質量は、地球の質量のおよそ0.1倍(厳密には1/10.24倍)となります。
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この回答へのお礼

ありがとうございます!!

お礼日時:2013/01/01 00:03

「重力加速度」をキーワードにして、2つの公式を考えます。

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