高校入試問題

新聞に開成高校の数学の入試がのっていてやってみたのですが、もう中学時代はだいぶ前のことなので忘れていて簡単な問題も解くことが出来ませんでした。

解き方を教えて頂きたいです。


「図において、点Ｏは円の中心で半径は１、ＡＢ＝１∠ＣＡＯ＝２２.５゜である。このとき、ＯＡの２乗を求めよ。」


です。

ＢＯを弾いて二等辺三角形を作るのかな？とは思ったのですが…

よろしくお願い致します。

ちなみにこの問題は中学の知識で解けますか？

正弦定理や余弦定理は浮かんで来るのですが中学でも何か定理がありましたっけ？

No.2 ベストアンサー 回答者： Dr-Field 回答日時： 2013/02/14 23:46

線分BOを引くと、△OBCは二等辺三角形。

また、△OABも二等辺三角形である。(∵OB＝AB＝１)
∠OAB＝∠AOB＝22.5°だから、∠OBC＝45°である。
そして、点Oから線分BCに垂線を引き、交点をDとすると、△ODBも△ODCも直角二等辺三角形。
だから、OA^2＝OD^2＋AD^2である。
OD＝1/(√2)であり、AD＝AB+BD＝1＋1/(√2)である。
以上より計算してOA^2＝2+√2という答えが出ました。

計算間違いがあったらご容赦を。

No.1 回答者： f272 回答日時： 2013/02/14 23:39

> ＢＯを弾いて二等辺三角形を作るのかな？とは思ったのですが…

その方針で解けばいいでしょう。
∠ＯＢＣ=∠ＯＣＢ=45度になるよね。

> ちなみにこの問題は中学の知識で解けますか？

解けますよ。

> 正弦定理や余弦定理は浮かんで来るのですが中学でも何か定理がありましたっけ？

三平方の定理（ピタゴラスの定理）。