△ABCにおいて, (a+b):(b+c):(c+a)＝(１+√３):(√２+√３－1):(2+√２

△ABCにおいて,
(a+b):(b+c):(c+a)＝(１+√３):(√２+√３－1):(2+√２)が成り立つ時,この三角形の最も大きい角θの大きさを求めよ。
この問題のやり方を教えて下さい。

No.3 ベストアンサー 回答者： sasa-san 回答日時： 2017/06/09 18:34

角度θを求めるだけなので、k=1倍として考えてもよいと思います。

(a+b)=1+√3
(b+c)=√2+√3 -1
(c+a)=2+√2
とします。すると、

a+b+c=(2a+2b+2c)/2
={(a+b)+(b+c)+(c+a)}/2
=(1+√3 +√2+√3 -1 +2+√2)/2
=(2 +2√3 +2√2)/2
=1 +√3 +√2
であることがわかります。

したがって、
a=(a+b+c)-(b+c)
=1 +√3 +√2 -(√2+√3 -1)
=2
b=(a+b+c)-(c+a)
=1 +√3 +√2 -(2+√2)
=√3 -1
c=(a+b+c)-(a+b)
=1 +√3 +√2 -(1+√3)
=√2

辺の長さは 2>√2>√3 -1 より a>c>b
よって、aの対角を求めればよいことがわかります。

aの対角をθと置くと、
余弦定理から、
a^2=b^2 +c^2 -2・b・c・cosθ
2^2=(√3 -1)^2 +(√2)^2 -2(√3 -1)・√2・cosθ
4=4-2√3 +2 -2√2(√3 -1)cosθ
0=-2√3 +2 -2√2(√3 -1)cosθ
2√2(√3 -1)cosθ =-2(√3 -1)
√2cosθ =-1
cosθ =-1/√2

三角形の内角の和は180度なので、0<θ<π だから
θ =3π/4
が解答となります。

No.2 回答者： guunagoona2015 回答日時： 2017/06/09 13:05

少し、訂正

これから、a, b, c の値を求める。

　　　　↓↓↓

これから、a, b, c を k で表す。

No.1 回答者： guunagoona2015 回答日時： 2017/06/09 11:16

(a+b):(b+c):(c+a)＝(１+√３):(√２+√３－1):(2+√２)　から

a+b＝(１+√３)k
b+c＝(√２+√３－1)k
c+a＝(2+√２)k
とおける。
これから、a, b, c の値を求める。

最大辺の対角が最大角になり、余弦定理を使って最大角を求める。