中学生の図形の問題です。 画像のような設定で、(3),(4)の問題がわかりません。 (3) ∠APB

中学生の図形の問題です。
画像のような設定で、(3),(4)の問題がわかりません。

(3)
∠APB=90°のとき、BP:PCの辺の比を求めなさい。

(4)
線分APと線分PCの長さの比が3:1となるとき、線分DPの延長と線分BCとの交点をGとする。△GDCの面積を求めなさい。


(3)だけでも結構です！
どなたかわかる方いらっしゃいましたら、教えていただけると嬉しいです。

No.9 ベストアンサー 回答者： masterkoto 回答日時： 2018/02/08 18:38

ACとBDの交点をJ

DPとBEの交点をKとすると
NO5から、CA＝3√21
JA:JC=11:7だから、ACを１８とすると
JC=(7/18)AC=(7/18)(3√21)=7√21/6
AP:PC=3:1から
PC=(1/4)AC=(1/4)(3√21)=(3√21)/4
よって
JP=JC-PC={(7√21)/6}-{(3√21)/4}={(14√21)-(9√21)}/12=(5√21)/12

△DJP∽△DBK　（AC//BEだから）より
DJ:DB=JP:BK
7:18=(5√21)/12:BK （DJ:BJ=7:11だから）
7BK=18x{(5√21)/12}=15√21)/2
BK=(15√21)/14

△GCP∽△GBK (AC//BEだから）より
GC:GB=CP:BK=(3√21)/4：(15√21)/14＝7:10
ここで、Gを通りAB、DEに垂直な線分ｈHを考えると、
平行線と線分の比から
GH:Gh=GC:GB=7:10
no5からHh=6√３で、
GH=7/17Hh=(7/17)･6√３=(42√３)/17

ゆえに面積は
△GDC＝DC・HG÷２＝7x{(42√３)/17}÷２=(147√３)/17
このようになると思います＾＾￥

No.10 回答者： sc348253 回答日時： 2018/02/08 21:21

DQ:QB=7:10であるから、等脚台形全体の1/2・7/(7+10) …(1)より

等脚台形は、(1/2)・(7+11)・6√3 …(2)
よって、(1)より、求める面積は、(1)・(2)=189√3 /17

→ DQ:QB=7:10であるから、等脚台形全体の(7/(11+7))・7/(7+10) …(1)より
等脚台形は、(1/2)・(7+11)・6√3 …(2)
よって、(1)より、求める面積は、(1)・(2)=147√3 /17 ！！！

No.8 回答者： sc348253 回答日時： 2018/02/08 18:34

4)

円に内接する上辺と下辺が平行な四角形は、等脚台形であるから、
三平方の定理より高さは、√ (7^2ー(7/2)^2 ) + √( 7^2ー(11/2)^2 )
=7√3 /2 + 5√3 /2=6√3
また、CQのQ側を延長して、ABのB側を延長した交点をRとおけば、
AP:PC=3:1の条件より、CP:QR=1:3 になるから、AR=3・7=21 cmだから
BR=21ー11=10 cmとなり、
DC平行ABより、対頂角と錯覚が等しい△CDQ相似△QBRだから
DQ:QB=7:10であるから、等脚台形全体の1/2・7/(7+10) …(1)より
等脚台形は、(1/2)・(7+11)・6√3 …(2)
よって、(1)より、求める面積は、(1)・(2)=189√3 /17

訂正！

この回答へのお礼

遅れてすみません。
ありがとうございました！

お礼日時：2018/03/12 22:23

No.7 回答者： sc348253 回答日時： 2018/02/08 18:16

4) やっとわかりました！

円に内接する上辺と下辺が平行な四角形は、等脚台形であるから、
三平方の定理より高さは、√ (7^2ー(7/2)^2 ) + √( 7^2ー(11/2)^2 )
=7√3 /2 ー 5√3 /2=6√3 の所は、右図を参照！

No.6 回答者： sc348253 回答日時： 2018/02/08 18:10

4) やっとわかりました！

円に内接する上辺と下辺が平行な四角形は、等脚台形であるから、
三平方の定理より高さは、√ (7^2ー(7/2)^2 ) + √( 7^2ー(11/2)^2 )
=7√3 /2 ー 5√3 /2=6√3
また、DQのQ側を延長して、ABのB側を延長した交点をRとおけば、
AP:PC=3:1の条件より、AP:PR=1:3 になるから、AR=3・7=21 cmだから
BR=21ー11=10 cmとなり、
DC平行ABより、対頂角と錯覚が等しい△ACQ相似△QBRだから
CQ:BR=7:10であるから、等脚台形全体の1/2・7/(7+10) …(1)より
等脚台形は、(1/2)・(7+11)・6√3 …(2)
よって、(1)より、求める面積は、(1)・(2)=189√3 /17

尚、No4の4)は、最初の相似△がおかしい！
また、NO2のところで勘違いしてしまいまして、すみません！あと、よく読めば、
Qは、Pより内側でも いいという問題文でしたので、その方針で解きました！

No.5 回答者： masterkoto 回答日時： 2018/02/08 16:27

中学生の知識のみで解きます。

ACとBDの交点をJとする（図では混み合ってゴチャゴチャするので省略）
図のようにJを通りDCとABに垂直な線分を引き新しくできる交点をGIとする。
平行線の錯角より
∠A=∠ACD
∠ABD=∠BDC
円周角の定理から
∠A=∠BDC
これらを合わせると
∠A=∠ACD＝∠ABD=∠BDC
よって
△JCDと△JABは2等辺三角形
⇒JD=JC,JA=JB
直角三角形に置いて斜辺と共通な辺JIが等しいから△JID合同△JIC
よってID=ICで
IGは弦CDの垂直2等分線であるから、IGは中心Oを通る。

同様にしてAG=BG

△AGOに三平方の定理を用いて
AG^2+OG^2=AO^2
(11/2)^2+OG^2=7^2
OG^2=49-121/4=(196-121)/4=75/4
OG=5√3/2

△CIOに三平方の定理から
CI^2+OI^2=CO^2
(7/2)^2+OI^2=7^2
OI^2=49-49/4=49x3/4
OI=7√3/2

IG=OG+OI=5√3/2＋7√3/2＝6√3

ここで、CからABに垂線CHを引くと青線の四角形CIGHは角が全て直角の長方形になり
BH=BG-GH=BG-IC=11/2-7/2=2
三角形CHBに三平方の定理を用いて
CB^2=2^2+(6√3)^2=4+108=112

△AHCに三平方定理で
AC^2=AH^2+CH^2=9^2+(6√3)^2=81+108=189
AC=3√21

PC=xとおくと、
△ABPに三平方定理で
BP^2+AP^2=AB^2
BP^2+(3√21-x)^2=11^2・・・①
△BCPに三平方定理で
BP^2+CP^2=CB^2
BP^2+ｘ^2=112・・・②
①-②から
(3√21-x)^2-ｘ^2=121-112
-6(√21)x+189=9
-6(√21)x=-180
x=180/6(√21)=30/(√21)
これを②へ戻して
BP^2+900/21=112
BP^2=112-900/21=(2352-900)/21=1452/21
BP=√(1452/21)=22√3/√21
ゆえにBP:CP=22√3/√21:30/(√21)=22√3:30=11√3:15・・・答え


このようになるかな　と思います。
４はまた後で

No.4 回答者： 20170130 回答日時： 2018/02/08 15:44

途中で計算ミスがあるかもしれないので、必ずご自分で確認してください

(3)
△OABの高さ+△OCDの高さで台形の高さを計算　6√3
台形ABCDが等脚台形であることを利用してACの長さを計算　3√21
△ABCの面積を利用してBPの長さを計算　(22/7)√7
直角三角形APBでAPの長さを計算　(11/7)√21
PCの長さを計算　(10/7)√21
BP:PC = 22:10√3 = 11:5√3

(4)
DPの延長とABの延長の交点をQとする

△PCDと△PAQは相似、相似比 1:3
AQ = 21,BQ = 10

△CDGと△BQGは相似、相似比 7:10 = CG:BG

△DCGの面積は、△DCBの面積の 7/17
△DCBの面積は、(3)で求めた高さを使って、7*(6√3)*(1/2) = 21√3 だから
△DCGの面積は、(147/17)√3

No.3 回答者： sc348253 回答日時： 2018/02/08 12:39

DBとACの交点をQとすれば、△DCQ相似△ABQからAQ:QC=11:7=22:14

AP:PC=3:1=27:9となり、

Pは、QよりもCに近い点になり、

問題文と矛盾するので、AP:PCの割合が違うのでは？

また、NO1は、BP:PC=15:11√3に訂正！

No.2 回答者： sc348253 回答日時： 2018/02/08 12:31

DBとACの交点をQとすれば、△DCQ相似△ABQからAQ:QC=11:7=22:14

AP:PC=3:1=27:9となり、Qは、PよりもCに近い点になり、問題文と矛盾するので、
AP:PCの割合が違うのでは？

No.1 回答者： sc348253 回答日時： 2018/02/08 12:10

3) 外接円の半径は、7 cmなので、正弦定理より

△ABCに適応すれば、
AB/sin∠C=2・7=14 ∴ sin∠C=11/14
また、sin^2 θ+cos^2 θ=1より、
cos∠C=√(｛ 1ー(11/14)^2 ｝=√75/ 14=(5/14)・√3
よって、
tan∠C=sin∠C/cos∠C=(11/14)/｛ 5√3 /14 )=11/(5√3 )=11√3 /5 =BP/CP より
∴ BP:CP=5:11√3