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白玉1個、赤玉2個が入っている袋から玉を1個取り出し、玉の色を調べてからもとに戻す。
この試行を5回続けて行うとき、次の確率を求めよ

白玉がちょうど3回出る
解答)白白白赤赤の並べかえ
(1/3) ³×(2/3)²×5C2=40/243

なんですけど、この5C2がわかりません
並べかえと言っているからPを使うのでは?

あともとに戻すは排反だから足し算では?

A 回答 (7件)

ただの並べかえ(順列)ではなくて同じものを含む順列だからですね。

3つの"白を選ぶ確率"、2つの"赤を選ぶ確率"はそれぞれ同じものと見なせます。だから5!/3!2!と書いてもいいです。5!/3!2!=5C2です。そもそも同じものを含む順列の式は組み合わせ(C)を用いて導かれています。

もとに戻すは排反だから、という言い方はとても危険です。何が排反なのかはっきり示さなければ理解することはできません。
白白白赤赤の順番に出る事象
白白赤白赤の順番に出る事象

これらの事象が互いに排反です。これらの事象の起こる確率はどれも(1/3)^3×(2/3)^2ですね。さて、あなたの仰る足し算は並べかえの部分に表れています。×5C2つまり10掛けるというのは10個を足すことに等しいですね。
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補足


玉をもとに戻すというのは試行が独立であることを表しています。この部分は排反とは関係ありません。

排反とは事象が同時に起こらないこと、
独立とは試行(事象)が他の試行の影響を受けないこと
を表しています。

以上です。長くなってしまいすみません(^^;
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もっと簡単な例で考えて見ましょう。


白ー個と赤ー個で2回連続して白を取るパターンは
勿論白白の1パターンだけ。でもP使ったら
2P2 =2パターンだよ。もう1パターンはなに?

これだけでもPが使えないのが簡単にわかる。

もっと正確にPとCの違いを知ろう。並べ方→P
という脊髄反射では数学は出来ません。
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1回の試行で、白玉が出る確率は、3個の内1つだから、1/3


1回の試行で、赤玉が出る確率は、3個の内2つだから、2/3
よって、5回の試行では、3回の白は、1/3 2回の赤が続けての試行なので、
(1/3)^2・(2/3)^(5-2) ……(ア)
あとは、白と赤の5回の試行での出方が、5C2=5・4/2=5・2=10 通り
が、どれも(ア)の確率で出るので、10・(ア)=40/243
「白玉1個、赤玉2個が入っている袋から玉を」の回答画像4
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最初から一つずつ解説すると・・・・



白が3回に赤が2回ということは
白白白赤赤
の確率は(1/3)(1/3)(1/3)(2/3)(2/3)なので、4/243
白白赤白赤
の確率は(1/3)(1/3)(2/3)(1/3)(2/3)なので、4/243
白白赤赤白
の確率は(1/3)(1/3)(2/3)(2/3)(1/3)なので、4/243
白赤白白赤
の確率は(1/3)(2/3)(1/3)(1/3)(2/3)なので、4/243
白赤白赤白
の確率は(1/3)(2/3)(1/3)(2/3)(1/3)なので、4/243
白赤赤白白
の確率は(1/3)(2/3)(2/3)(1/3)(1/3)なので、4/243
赤白白白赤
の確率は(2/3)(1/3)(1/3)(1/3)(2/3)なので、4/243
赤白白赤白
の確率は(2/3)(1/3)(1/3)(2/3)(1/3)なので、4/243
赤白赤白白
の確率は(2/3)(1/3)(2/3)(1/3)(1/3)なので、4/243
赤赤白白白
の確率は(2/3)(2/3)(1/3)(1/3)(1/3)なので、4/243
が全てです。
これらを全部足して、40/243が求める確率です。

当然見ればわかるとおり、それぞれの確率は(1/3)^3・(2/3)^2ですし、
その回数は、5つの中から2つを選ぶ(または3つを選ぶ)ことと同じです。
したがって、求める確率は
(1/3)^3・(2/3)^2・5C2
と同じになるということです。
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12って、一回目と二回目に取り出した玉が赤だったらってこと


13は一回目と3回目が赤、45は4回目と5回目、、、
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5C2は並び替え(赤をどこにおけるか)って話。


12,13,14,15,23,24,25,34,35,45の10パターンだよね。
別に、白を置く位置がいくつあるか(5C3)に置き換えてもよい。
5C2=5C3だからね。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます!

12,13,14,15,23,24,25,34,35,45の10パターン

ってどういう事ですか?

お礼日時:2018/03/20 15:43

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公式を書いておきます。

組み合わせの記号を使って

5C1×4C2×2C2×(1/6)×(2/6)^2×(3/6)^2
です。

若干補足しておくと
最初の5C1の5は反復を5回行うという意味で
うち1回が赤なので5C1です。
次に5回中1回は赤と決めたので残りは4回
その4回中2回が赤なので4C2
これで5回中3回分決まったので残り2回
2回中2回青なので2C2となります。
(計算したら2C2=1なので最後の2C2は掛け算しなくても結果自体は一緒になりますが)

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