数Ⅲ 微分 aを0＜a＜π／2を満たす定数とし、方程式 x(1－cosx)＝sin(x+a)を考える

数Ⅲ 微分





aを0＜a＜π／2を満たす定数とし、方程式 x(1－cosx)＝sin(x+a)を考える。

（1) nを正の整数とするとき、上の方程式は2nπ＜x＜2nπ+π／2の範囲でただ一つの解をもつことを示せ。お願いします。

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/04/26 23:43

f(x) = x(1 - cos x) - sin(x+a) と置きましょう。

f’(x) = (1 - cos x) + x(sin x) - cos(x+a),
f’’(x) = (sin x) + (sin x) + x(cos x) + sin(x+a) です。

f’(2nπ) = (1 - 1) + 0 - cos a < 0,
f’(2nπ+π/2) = (1 - 0) + (2nπ+π/2) + sin a > 0,
f’’(x) = (sin x) + (sin x) + x(cos x) + sin(x+a) > 0 + 0 + 0 + 0
より、f’(x) の増減表を考えると、
x　　2nπ　　　　　　2nπ+π/2
f’’　　　　　　＋
f’　　ー　　　増　　　　＋
f’(x) = 0 は 2nπ < x < 2nπ+π/2 の範囲にただひとつの解を持ちます。
それを x = b(n) とします。

すると、
f(2nπ) = 2nπ(1 - 1) - sin a < 0,
f(2nπ+π/2) = (2nπ+π/2)(1 - 0) - cos a = 2nπ+(π/2 - 1) + (1 - cos a) > 0
より、f(x) の増減表を考えると、
x　　2nπ　　　　　　b(n)　　　　　　　　2nπ+π/2
f’　　　　　　ー　　　　0　　　　＋
f　　ー　　　減　　　　ー　　　　増　　　　　＋
f(x) = 0 は 2nπ < b(n) < x < 2nπ+π/2 の範囲にただひとつの解を持ちます。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2019/04/26 02:45

どこで困っているのですか?