なんでこの問題α-１をかけるのですか？教えてください

なんでこの問題α-１をかけるのですか？教えてください

No.1 回答者： masterkoto 回答日時： 2019/05/24 15:31

経験値やひらめきが物を言います！

{(A^n)-1}=(A-1){(A^n-1)+(A^n-2)+・・・+1)　ただしnは奇数と言う公式があります（高校では習わないかもしれないが知っておくと有利！）
問題の条件式から、この公式の右辺の{(A^n-1)+(A^n-2)+・・・+1)が思い浮かぶと言ったところです。
だからA=arufaに置き換えて
a-1を掛けようとするのは自然と言えます。

ただし、a=1のときは、求めるべき式に直接a=1を代入すれば良いのでa≠１と場合わけです

No.2 回答者： cruelman 回答日時： 2019/05/24 19:03

α^4+α^3+α^2+α+1

という式を見るとこれはつまり等比数列の和と見えるのです。
大学入試の問題というのは高校生が解けるように作ってある筈ですので等比数列の和の公式を利用すれば式が簡単になるのではないだろうかと予想するわけです。予想に従ってやってみると果たしてそうであったということです。

No.3 回答者： majimelon37 回答日時： 2019/05/25 10:31

なんでこの問題α-１をかけるのですか？

問題 α⁴+α³+α²+α+1=0＿①のとき
α⁶(α⁷+1)(α+1)を求めよ。
n次方程式x^n－1=0＿②を分円方程式という。これを解くと
　　x^n=1､ｘ=(1のn乗根)となる。ｘ=1が解であることはすぐわかる。
しかし、ｎ次方程式だから、解はn個ある。例えばn=2なら平方根は二つある。
n=５のときは分円方程式
x⁵－1=0＿③には5個の解がある。ｘ=1以外の解を求めるには、③を因数分解して、
x⁵－1=( x－1)( x ⁴+ x ³+ x ²+ x +1)=0とする。
ｘ=1以外の解は複素数だから、これをαとすると、
α⁴+α³+α²+α+1=0と問題の式①が出る。
式①にα-１をかけて、(α-１)(α⁴+α³+α²+α+1)=α⁵－1=0となり、αは分円方程式の解であるとわかる。分円方程式から、多くのことがわかる。
複素数αは下の図のように実数部を横座標に、虚数部を縦座標にすると複素平面の点として表すことができる。この問題は、図のような正五角形の問題である。
式①α⁴+α³+α²+α+1=0にある1，α，α²，α³，α⁴の５個の数は
図に示すように正五角形の5個の頂点A，B，C，D，Eを表す。
∠AOB=∠BOC=…=∠BOC =72°=360°/5＿④
5個の頂点A，B，C，D，Eは単位円の円周を72°づつ５個の円弧に分割する。
これが分円方程式の名前の理由である。
方程式③のα≠1の1個の解αを点Ａとする。Ａ=αは１の5乗根だから、
α⁵=1＿⑤である。
次にx=α²をBとして、これを方程式③に入れ、⑤を使うと
x⁵－1= B⁵－1=α¹⁰－1=α⁵･α⁵－1=１･1－1=0となるので、x=α²=Bは方程式③の解である。
同様にして、x=α³= C，α⁴=Dも方程式③の解である。α⁵=A=1も解である。
問題の式α⁶(α⁷+1)(α+1)＿⑥を計算する。
⑤からα⁶=α、α⁷=α²である。これを⑥に入れて、括弧をはずすと
α⁶(α⁷+1)(α+1)=α(α²+1)(α+1)=α(α³+α²+α+1)=α⁴+α³+α²+α
α⁴+α³+α²+α+1=0＿①からα⁴+α³+α²+α=－1だから、
問題の式α⁶(α⁷+1)(α+1) =－1が答えである。

No.4 回答者： majimelon37 回答日時： 2019/05/25 11:35

No.3のつづき

α≠1の解を得るには
方程式α⁴+α³+α²+α+1=0＿①を解いてαを求める。この4次方程式は、2次方程式を２回解くと解が得られる。それを以下に示す。
t=α+1/α＿②と置く。これを二乗すると
t²= (α+1/α)²=α²+2 +1/α²＿③
②と③をたして1を引くと
t²+t－1=α²+2 +1/α²+α+1/α－1=α²+α+1+1/α+1/α²=(α⁴+α³+α²+α+1)/α²
①により最右辺の分子は0。ゆえに
t²+t－1=0＿④
この２次方程式を解くと、
一つの解はt=(√5－1)/2＿⑤
これを②に入れると、αの２次方程式⑥となる。
t=α+1/α=(√5－1)/2
2α²－(√5－1)α+2=0＿⑥
この方程式を解くと、点Bのαは
α=(√5－1+ｉ√(10＋2√5))/4＿⑦
αの実数部をa，虚数部をbとすると、α=a+ｉb＿⑧
a=(√5－1)/4，b=√(10＋2√5)/4で、aは点Bの横座標、bは縦座標である。
a²+b²=(6－2√5)/16+(10＋2√5)/16=1となるので、|α|=√(a²+b²)=1＿⑨からOB=1
a=(√5－1)/4=cos72°≒0.3090、b=sin72°である。∠AOB=72°=360°/5から
点Bは正五角形の頂点であることが分かった。
α=a+ｉb = cos72°+ｉsin72°＿⑩ である。
|α|=１だから、すべての整数に対して|α^n|=１＿⑩である。
点C=α²は、式⑩の両辺を二乗すると
C=α²=(a+ｉb)²=( cos72°+ｉsin72°)²
= cos²72°－sin²72°+2ｉsin72°cos72°　倍角公式を使うと
= cos144°+ｉsin144°＿⑪　同様に加法定理を使って計算すると
D=α³= cos216°+ｉsin144°＿⑪
E=α⁴= cos288°+ｉsin288°＿⑫
となる。
複素数の掛け算では、偏角はたし算となる。72°+72°=144°
のようにBの偏角からC、D、Eの偏角を計算できるのが、複素数の法則である。

No.5 回答者： majimelon37 回答日時： 2019/05/25 11:49

No.3の訂正　点の名前をまちがった。

次のように訂正する：
方程式③のα≠1の1個の解αを点Bとする。B=αは１の5乗根だから、
α⁵=1＿⑤である。
次にx=α²をCとして、これを方程式③に入れ、⑤を使うと
x⁵－1= C⁵－1=α¹⁰－1=α⁵･α⁵－1=１･1－1=0となるので、x=α²=Cは方程式③の解である。
同様にして、x=α³= D，α⁴=Eも方程式③の解である。α⁵=A=1も解である。