dy(x)/dx=(x^2+y^2)/2x^2 但しx≠0とする。 この微分方程式がわかりません。

dy(x)/dx=(x^2+y^2)/2x^2
但しx≠0とする。

この微分方程式がわかりません。

よろしくお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/06/11 21:05

右辺の値は、比 y/x の値だけで決まりますね。

そのような場合は、
u = y/x で変数変換するとウレシイことが多いようです。

右辺 = (1/2){ 1 + (y/x)^2 } = (1/2)(1 + u^2),
左辺 = (d/dx)(xu) = u + x(du/dx)　より、
u + x(du/dx) = (1/2)(1 + u^2) を変形して
{ 2/(1-u)^2 }(du/dx) = 1/x.

両辺を(xで)積分すると、
右辺の積分 = ∫(1/x)dx = log|x| + A (Aは定数)、
左辺の積分 = ∫{ 2/(1-u)^2 }du = (2/3)/(1-u)^-3 + B (Bは定数).
よって、(2/3)/(1-u)^3 = log|x| + C (C=A-Bは定数).
y = xu = x[ 1 - { (2/3)/(log|x| + C) }^(-1/3) ].

Cは初期条件によって決まる定数で、微分方程式だけからは決まりません。
x≠0 が仮定にあるので、解は x>0 か x<0 (の一部)でだけ定義されます。
それがどちらかに応じて、log|x| は log(x) または log(-x) で置き換えられます。