割裂試験の引張応力を求める式

割裂試験の応力を求める式は、
σ ＝（２P）/（πｄｌ）
σ：応力
P：荷重
ｄ：直径
ｌ：円柱の長さ
で求めることができると参考書などに書いてありますが、この式を導き出す過程がわかりません。よろしくお願いします。

No.2 回答者： k_riv 回答日時： 2005/04/17 03:48

＃１です。

どなたか，うまい説明をして頂けないかと期待していたのですが，おられないようなので，私が，説明のを努力をしてみます。

シリンダ試験体を横にしますが，この時シリンダの軸方向から断面を見ると，円形になります。この円の直径を（ｄ)，シリンダの長さを（L）とします。この円の頂点を（A）点とし，円の中心を通る垂線上の最下点を（B)点とします。この時，（A)点に線荷重（P）を作用させると，（B)点＝支持点に反力（P)が生じます。荷重を増加させると，シリンダは，垂線（A-B)に沿って破壊しますが，この破壊時の荷重（P)を用いて試験体の引張強度を求めるのが，割裂引張試験です。この試験は，圧縮によって，引張強度を求めるには，基本的には極座標における２次元問題の円盤応力理論を用います。

この円の円周上の任意の点を（M)とすれば，（A),(B),(M)を頂点とする三角形（A-B-M)を描くことが出来ます。ここで，線分（A-M)の長さを（ｒ1)，線分（B-M)の長さを（r2)とし，角（M-A-B)を（α），角（M-B-A)を（β）とします。

この時，応力が，力の作用点（A)から放射状に分布すると仮定すれば，作用点（A)から（α）だけ離れた点（M)は，単純圧縮を受け，その応力成分は，Flamantの解より，(r1)の方向に，
P0=P/L
σr1＝（２・P0・cosα）/（π・r1）
となります。同様に，(r2)の方向に，
σr2＝（２・P0・cosβ）/（π・r2）
となります。
ここで，(r1)と(r2)は互いに垂直なので，
（cosα/r1）＝(cosβ/r2)＝(1/d)
が成り立ちます。この関係を，上式に当てはめると，
σr1＝σr2＝（2・P0)/（π・d)
となり，（M)点の圧縮応力となります。

ここで，（M)点を，円の中心を通る水平線上の任意の点（N)に移動すれば，三角形（A-B-M)は，三角形（A-B-N)になり，点（N)を頂点とする２等辺三角形になります。２等辺三角形になったので，
（r1=r2=r)　かつ　（α＝β）という条件を設定でき，
点（N)の水平方向の応力を（σｘ），鉛直方向の応力を（σｙ）とすれば，
σx=-(4P0/π)・（sinα・sinα・cosα/r）＋(2P0/πd)
σy=-(4P0/π)・(cosα・cosα・cosα/r)＋（2P0/πd)
となります。

ここで，円の中心を通る垂線上で，円の中心から（y)だけ離れた任意の点（Q)の応力分布は，
r1=d/2-y，　r2=d/2+y，　α=β=0
の条件で求められ，
σx=(2P0）/（πd）
σy=-（8・P0・d/π)・(1/（d＾2-4y^2))＋(2P0)/(πd)
となります。

ここで，(σx)は，線分（A-B)に沿う一様な引張張力を示し，σyは円の中心を通る水平線上の圧縮応力分布を示しています。

最後に，シリンダの長さを考慮した(P0=P/L）を代入すれば，
σt=(2・P)/(π・d・L）
が得られます。

この式を導く一連の過程を記述した書籍を，見つける事は出来ませんでしたが，＃１の書籍とティモシェンコの弾性論（コロナ社）を参考にしました。

No.1 回答者： k_riv 回答日時： 2005/04/09 02:40

申し訳ないですが，図がないと説明できません。

構造材料実験法・谷川恭雄（代表）・森北出版(2003)
９．３引張強度試験（P187～）
を，ご覧ください。