x＝cos^3t、y＝ sin ^3tのときのd²y/dx²を求めよという問題で、 d²y/dx²＝

x＝cos^3t、y＝ sin ^3tのときのd²y/dx²を求めよという問題で、

d²y/dx²＝(d/dx)×(dy/dx)でdy/dx＝-6tantというところまでは分かったのですがここから先がわかりません。だれか教えていただけませんか。

No.1 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2020/04/13 22:55

dx/dt=3(cost)^2 (-sint)=-3(cost)^2 (sint)

dy/dt=3(sint)^2 (cost)

dy/dx=(dy/dt)(dt/dx)=3(sint)^2 (cost)/-3(cost)^2 (sint)=-sint/cost=-tant

d^2y/dx^2=(d/dx)(dy/dx)=(d/dt)(dt/dx)(dy/dx)より、

d^2y/dx^2=(d/dt)(1/(-3(cost)^2 (sint)))(-tant)
=(d/dt)(tant/3(cost)^2 (sint)))
=(d/dt)(1/3(cost)^3)
=(d/dt)(1/3)(cost)^(-3)
=-(cost)^(-4) (-sint)
=sint/(cost)^4

もしくは

d^2y/dx^2=tant/(cost)^3

No.2 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/04/14 14:50

d²y/dx² = d(dy/dx)/dx を更に合成関数の微分法で

d²y/dx² = { d(dy/dx)/dt } / { dx/dt } と変形すれば、
あとは dy/dx = -tan t と x = cos^3 t から計算できるでしょう。

d(dy/dx)/dt = d(-tan t)/dt = -1/cos^2 t,
dx/dt = cos^3 t = 3(cos^2 t)(-sin t) より
d²y/dx² = { -1/cos^2 t } / { 3(cos^2 t)(-sin t) } = 1 / { 3(cos^4 t)(sin t) }.

この回答へのお礼

ありがとうございます。
合成関数についてもう一度復習してみます。

お礼日時：2020/04/14 18:22