放物線と直線の共有点を求める問題で腑に落ちないことがあります

放物線と直線の共有点を求めると異なる二つの虚数解を持つということがわかった時、これは座標平面上で共有点を持たないことを意味すると思いますが、虚数解は二つ持っています。これがどういうことなのかイマイチ腑に落ちません。二つの異なる虚数解をもつとはどういうような状況なのでしょうか

No.3 回答者： stomachman 回答日時： 2023/09/30 17:38

xが実部a, 虚部bの複素数

　　x = a + ib
であるとして、
　　y = x² + 1
とすると、yもまた複素数。その実部をp、虚部をqとしますと
　　y = p + iq
であり、
　　p = a² - b² + 1
　　q = 2ab
です。これをプロットしてみる。

　図の左は横軸a, 縦軸bにとった pの等高線図。赤はp＞0の範囲, 青はp＜0の範囲, 黄色あたりがp≒0です。
　図の右は横軸a, 縦軸bにとった qの等高線図。赤はq＞0の範囲, 青はq＜0の範囲, 黄色あたりがq≒0です。これをじっくり眺めますと：
　yの実部pはb = 0（つまり横軸上）ではどこでも正。a = 0（つまり縦軸上）では、1＞b＞-1の範囲ではpは正であり、b = 1とb = -1のときにpは0になっています。
　yの虚部qはb = 0（つまり横軸上）とa = 0（つまり縦軸上）ではどこでも0です。そして、第1象限と第3象限ではqは正、第2象限と第4象限では負。

　さて、y = 0 とは 「p, qがともに0だ」ということですから、(a,b) = (0,1)と(a,b)=(0,-1)のときにだけy=0だとわかりますね。

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/09/30 05:54

(x,y)が実数のとき

y=x^2
は放物線を表すけれども
z,wが複素数のとき
w=z^2
z=x+iy
とすると
w=(x+iy)^2=x^2-y^2+2xyi
wの実数部
f(x,y)=x^2-y^2
は双曲放物面を表す
wの虚数部
g(x,y)=2xy
も双曲放物面を表す
w=-1との交点は
x^2-y^2=-1
2xy=0
1≦x^2+1=y^2
x=0
y=±1
z=±i

双曲放物面
w=z^2
と
直線
w=-1
の交点は
z=±i

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2023/09/29 23:20

例えば

y=x^2+1 と y=0
みたいな状況.

複素 2次元空間で考えれば「2つの交点」を持っているはず, だねぇ.