数学的帰納法の問題です。 ・なぜ3分の2から3分の1に変える必要があるんですか？ ・2個目の式から3

数学的帰納法の問題です。
・なぜ3分の2から3分の1に変える必要があるんですか？
・2個目の式から3個目の式の変換？がよくわかりません
すみません誰かお願いします。

質問者からの補足コメント

• 理系きびしい世界文系女には理解できない世界ひろいねーーーー(><)

    補足日時：2023/10/16 16:06

No.7 回答者： sc348253 回答日時： 2023/10/16 19:55

・2個目の式から3個目の式の変換？がよくわかりません

　g(x)=4k^3 +6k^2 +2k +12k^2 +24k +12
=4k^3 +18k^2 +26k +12
=2(2k^3 +9k^2 +13k +6)
ここで　(1/2)g(-1)=2(-1)+9(-1)^2 +13(-1)+6=-2+9-13+6=0
より　g(x) は　因数定理から　x+1 という因数があることがわかるので
互除法から
-1) 2.....9.....13........6
............ -2.... -7..... -6
------------------------------
.......2.....7......6........0
よって　g(x)=(x+1)(2k^2 +7x +6)=(x+1)(2k^2 +4x +3x +6)
=(x+1){2k(k+2)+3(k+2)}=(x+1)(k+2)(2k+3)
たすき掛けでもいいが　2項分解法でしてみました！(追記)

No.6 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/10/16 19:41

ずっと 2/3 を括りだしたままでも良いですよ。

１行目の第2項が (2k+2)² = 4(k+1)² = (2/3){ 6(k+1)² } = (2/3)(6k²+12k+6)
って変形できますものね。

写真の解説は、(2k+2)² から 2 を括りだす説明をするよりも
一旦 (2k+2)² = (1/3){ 3(k+1)² } = (1/3)(12k²+24k+12)
と展開してしまったほうが式が見やすいと思ったのでしょう。
2/3 の 2 は、次に (4k³+6k²+2k+12k²+24k+12) を因数分解するときに
括りだしておけばよいことですしね。

どちらのスタイルが好きかは、各人の好みしだいです。
私も、どちらかというと 2行目を 2/3 で括るスタイルのほうが好きですが、
こういうのは、好き嫌いの問題であって正誤の問題じゃないから
どっちだってかまいません。

No.5 回答者： sc348253 回答日時： 2023/10/16 19:38

括らないで直接計算したら

与式=(2/3)k(k+1)(2k+1)+(2k+2)^2
=(2/3)k(2k^2 +3k +1)+{2(k+1)}へ2
　　=(2/3)(2k^3 +3k^2 +k) +4(k^2 +2k +1)
=(4/3)k^3 +2k^2 +(2/3)k +4k^2 +8k +4
=(4/3)k^3 +6k^2 +(26/3)k +4
=(2/3)(2k^3 +9k^2 +13k +6 )
=(2/3)(k+1)(k+2)(2k+3)

2/3　で括くれば
与式=(2/3)k(k+1)(2k+1)+(2k+2)^2
　　=(2/3)k(2k^2 +3k +1)+(3/3)4(k+1)^2
=(2/3)(2k^3 +3k^2 +k )+(2/3)6(k^2 +2k +1)
=(2/3)(2k^3 +3k^2 +k +6k^2 +12k +6)
=(2/3)(2k^3 +9k^2 +13k +6)
=(2/3)(K+1)(2k^2 +7k +6)
=(2/3)(k+1)(k+2)(2k+3)

以上回答と比べてください　そうすれば要するに
計算が一番楽で計算ミスが少なくわかりやすいだろうことがわかると思います！
でも　別にきちんと計算できれば　２/３　で括っていいと思います！

No.4 回答者： ssawatake 回答日時： 2023/10/16 16:31

矢印の変形だったら簡単

普通に因数分解してるだけ。

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2023/10/16 15:09

「数学的帰納法」そのものじゃなくて、単なる式変形の質問ね？

1行目の第2項と通分するので、第1項の「２」は展開した各項の係数に割り振っただけ。
特にそれだけの意味しかないでしょう。

第2項の方を
　(2k + 2)^2 = 4(k + 1)^2
にして、画像の2行目を
　(2/3)(2k^3 + 3k^2 + k + 6k^2 + 12k + 6)
にしてもよいと思うけどね。

ここから先は
　(2/3)(2k^3 + 3k^2 + k + 6k^2 + 12k + 6)
= (2/3)(2k^3 + 9k^2 + 13k + 6)　　　　①

k=-1 のとき
　2k^3 + 9k^2 + 13k + 6 = 0
になるから、
　2k^3 + 9k^2 + 13k + 6 = (k + 1)f(k)
と書ける。多項式の割り算をすれば
　f(k) = 2k^2 + 7k + 6
になる。これは「たすき掛け」で因数分解して
　f(k) = (2k + 3)(k + 2)
になるから、結果として①は

① = (2/3)(k + 1)(k + 2)(2k + 3)

となる。
何も特別なことはしていないよ？
単なる「通分」と「因数分解」。

No.2 回答者： ssawatake 回答日時： 2023/10/16 14:59

帰納法で証明する元の問題文くらい書かなくてドースル？

4×(1+2²+3²+4²+・・・+n²)=(2/3)n(n+1)(2n+1)
を証明しなさい。

とか言う問題じゃ無いの？？？

No.1 回答者： kairou 回答日時： 2023/10/16 14:54

１行目の 2/3 は k(k+1)(2k+1) にだけ掛かっていますね。

従って その部分だけ 2k(k+1)(2k+1) で展開して、
後ろの (2k+2)² は ３倍して 展開してますよね。
２行目から３行目は 普通の因数分解です。

実際に １行目を 紙に書いて 展開したら 分かるでしょ。
眺めているだけでは 先に進めませんよ。

というか、この画像 どこかの参考書ですか。
馬鹿な計算をしてますね。
１行目の (2k+2) を 2(k+1) とすれば、
そのまま (k+1) の共通因子で もっと楽に 因数分解できるのでは。