この式の展開がわかりません

ボケ防止に数学の問題に挑戦してるお爺ちゃんです
画像のような式はある問題の解の途中で出てくるのですが分母が何故こうなるのか分かりません
どなたか教えてください

No.2 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/09/12 10:00

画像の通り

No.6 回答者： finalbento 回答日時： 2024/09/12 12:47

「左辺から右辺に」が分からないならその逆の「右辺から左辺に」を計算してみたらいいと思います。

No.5 回答者： sc348253 回答日時： 2024/09/12 10:52

(√a ＋√b)^2=a+b+2√ab

∴√a +√b=√{(a+b) +√ab}　より
分母*√2=√(3*2　‐　2√5)=√(5+1)+2√5*1=√5　-　１　だから

No.4 回答者： tknakamuri 回答日時： 2024/09/12 10:47

a≧b≧0とすると

√(a)-√(b)=√((√(a)-√(b)^2)=√((a+b)-2√(ab))
なので
a+b=3
√(ab)=√(5)/2=√(5/4) → ab=5/4を探す。

a=3-bなので
(3-b)b=5/4 →-b^2+3b=5/4 →4b^2-12b+5=0
b=(12±８)/8=5/2、1/2
a≧bなのでa=5/2、b=1/2

No.3 回答者： masterkoto 回答日時： 2024/09/12 10:31

左辺の分母の外枠の√の中身

＝3-2√5/2…①
です
①を通分して
①＝6/2-2√5/2
＝（1/2）×（6-2√5）
＝（1/2）×（√5-1）²
中身がこのようになっているので
ゆえに、
左辺の分母
＝√（1/2）×√（√5-1）²
＝(1/√2)×（√5-1）
＝右辺分母
となります

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2024/09/12 09:54

二重根号（ルート）の外し方ということですね。

(√a - √b)^2 = a - 2√(ab) + b = (a + b) - 2√(ab)

という関係を使います。
これを逆向きにすれば

√[(a + b) - 2√(ab)] = √a - √b

ということですから。

お示しの問題では、
　a + b = 3
　ab = 5/4
とするか、始めから「1/√2」を外に出して
　a + b = 6
　ab = 5
とするかのいずれかで答が導けます。