ベクトル

△ABCにおいて両端を除く辺AB，AC上にそれぞれ点P,Qをとり、
AP→=sAB→(0<s<1),AQ→=tAC→(0<t<1)とする。直線PQが△ABCの重心Gを通るとき
⑴1/s+1/t=3が成り立つことを示せ。←証明済み
⑵△ABCと△APQの面積比が20:9になるようなs,tの値を求めよ。

⑵の解説お願いします。答は(s,t)=(3/4,3/5),(3/5,3/4)です。

No.3 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/11/08 19:04

△ABCの面積は

|△ABC|=(1/2)|AB||AC|sinA

△APQの面積は
|△APQ|=(1/2)|AP||AQ|sinA

△ABCと△APQの面積比は
20:9
=|△ABC|:|△APQ|
=(1/2)|AB||AC|sinA:(1/2)|AP||AQ|sinA
↓2/sinAをかけると
=|AB||AC|:|AP||AQ|
↓|AP|=s|AB|,|AQ|=t|AC|だから
=|AB||AC|:s|AB|t|AC|
↓|AB||AC|で割ると
=1:st

20:9=1:st

↓外項の積=内項の積から

20st=9

1/s+1/t=3
↓両辺から1/sを引くと
1/t=3-1/s
↓両辺に20ts^2をかけると
20s^2=20st(3s-1)
↓20st=9だから
20s^2=9(3s-1)
↓両辺に9-27sを加えると
20s^2-27s+9=0
↓因数分解すると
(4s-3)(5s-3)=0

s=3/4.または.s=3/5

s=3/4のとき1/t=3-1/s=3-4/3=5/3→t=3/5→(s,t)=(3/4,3/5)
s=3/5のとき1/t=3-1/s=3-5/3=4/3→t=3/4→(s,t)=(3/5,3/4)

この回答へのお礼

詳しい解説本当にありがとうございます。

お礼日時：2024/11/08 21:25

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2024/11/08 15:57

△ABC の面積は

　S = (1/2)AB･ACsin∠A
で求まることは分かりますか?

AB を底辺とすれば、高さが ACsin∠A
AC を底辺とすれば、高さが ABsin∠A

同様に、△APQ の面積は
　S' = (1/2)AP･AQsin∠A
で求まります。

ここで
　AP = sAB
　AQ = tAC
なのだから
　S' = stS
になります。

S : S' = 20 : 9 なのだから
　st = 9/20　　　　　①

これと (1) の
　1/s + 1/t = 3　　　　②
の連立方程式を解けば
② × st で
　t + s = 3st = 27/20
これより
　t = (27/20) - s　　　　③
として①に代入すれば
　(27/20 - s)s = 9/20
→　20s^2 - 27s + 9 = 0
→　(5s - 3)(4s - 3) = 0
よって
　s = 3/5, 3/4

s = 3/5 のとき、③より
　t = (27/20) - (3/5) = 15/20 = 3/4

s = 3/4 のとき、③より
　t = (27/20) - (3/4) = 12/20 = 3/5

よって
　(s, t) = (3/5, 3/4), (3/4, 3/5)

この回答へのお礼

とてもわかりやすい解説ありがとうございます。理解できました。

お礼日時：2024/11/08 18:59

No.1 回答者： tknakamuri 回答日時： 2024/11/08 14:19

st=9/20

1/s+1/t=(s+t)/st=3 →s+t=3st=27/20
これを解くだけ。