積分回路で

積分回路において積分波形と時定数にどのような関係性があるのでしょうか。わかるかたいらっしゃいましたら教えてください。

No.3 回答者： Denkigishi 回答日時： 2008/05/27 19:00

質問の積分回路が具体的にどういう回路か示されていないので、１および２の回答者の方はＲとＣの受動素子からなる擬似積分回路（自動制御理論でいう一次遅れ回路）を念頭において回答されています。

この場合は積分時間よりかなり短い時間帯においてのみ積分に近い特性（直線性）を示します。多分質問者もそれでいいのだろうとは思いましたが、念のため、私は能動素子（オペアンプ）を使った正規な積分回路の場合について書いてみます。
オペアンプの負入力にＲを、帰還回路にＣを付けると出力は数学でいう積分と同じ波形となります。たとえば入力が方形波だと、出力は三角波となります。このときの出力と時定数の関係は、t＝Ｔ＝ＣＲのとき、出力電圧＝－入力電圧　となります。回答１で６３％という値が示されていますが、これが－１００％に変わります。

No.2 回答者： sanori 回答日時： 2008/05/27 00:24

こんばんは。

ＲＣ積分回路は、このような形です。

電源Ｅ-------スイッチ------抵抗Ｒ---(Ｖ)-----｜Ｃ｜-------ＧＮＤ

スイッチより右側の初期電圧は、ＧＮＤ（０Ｖ）とします。
Ｖの初期電圧も０Ｖです。
スイッチを入れると、スイッチの右側に方形パルスが入力されます。
以下、微分方程式を立てて解くことを目標に、進めていきます。

コンデンサにたまっている電荷Ｑは
Ｑ＝ＣＶ　　・・・（あ）
よって、

抵抗の左側の電圧はＶ、右の電圧はＶ　なので、電源から来る電流をｉと置いて、オームの法則を適用すれば、
Ｅ－Ｖ　＝　Ｒｉ　　・・・（い）
ところが、回路は一本道なので、ｉは、コンデンサにたまる電荷の時間的変化と同じ。
よって、
Ｅ－Ｖ　＝　Ｒ・ｄＱ／ｄｔ　・・・（い）’

（あ）より、
ｄＱ／ｄｔ　＝　Ｃ・ｄＶ／ｄｔ　・・・（う）
これを（い）’に代入すれば、

Ｅ－Ｖ　＝　ＲＣ・ｄＶ／ｄｔ

という微分方程式の出来上がり。

（１／ＲＣ）・ｄｔ　＝　ｄＶ／（Ｅ－Ｖ）

ここで、Ｖ２＝Ｅ－Ｖ　と置けば、ｄＶ２／ｄＶ＝－１
よって、
（１／ＲＣ）・ｄｔ　＝　－ｄＶ２／Ｖ２
（１／ＲＣ）∫ｄｔ　＝　－∫ｄＶ２／Ｖ２
（１／ＲＣ）・ｔ　＋　Const.　＝　－lnＶ２
ｅ^(t/RC + Const.)　＝　１／Ｖ２
定数・ｅ^(－t/RC)　＝　Ｖ２　＝　Ｅ－Ｖ
と解けました。
ｔ＝０のときＶ＝０という初期条件を与えれば、定数＝Ｅです。
Ｅ・ｅ^(－t/RC)　＝　Ｖ２　＝　Ｅ－Ｖ
よって、
Ｖ　＝　Ｅ（１－ｅ^(－t/RC)）
となり、Ｖが時刻ｔの関数として表すことができました。

ここで、ｅのべきの部分は無次元なので、－ｔ／ＲＣは無次元。
つまり、時刻ｔとＲＣは同じ次元でなくてはいけないので、
ＲＣは時刻の次元を持ちます。
そこで、
τ＝ＲＣ
と書き、このτを時定数と呼びます。

というわけで
Ｖ／Ｅ　＝　１－ｅ^(－t/τ)
です。

以下、具体的に数字を入れてみると、

ｔ＝０のとき（パルスが入ってから０秒後）は、満充電に対し、
　　１－ｅ^(－０/τ)　＝　１－１　＝　０　（０％充電）

ｔ＝τのとき（パルスが入ってからτ秒後）は、満充電に対し、
　　１－ｅ^(－τ/τ)　＝　１－ｅ^(-1)　＝　1 - 1／2.718　＝　1 - 0.368　＝ 0.632　（６３．２％充電）

ｔ＝２τのとき、満充電に対し、
　　１－ｅ^(－２τ/τ)　＝　１－ｅ^(-2)　＝　1 - 1／2.718^2　＝　1 - 0.135　＝ 0.865　（８６．５％充電）

ｔ＝３τのとき、満充電に対し、
　　１－ｅ^(－３τ/τ)　＝　１－ｅ^(-2)　＝　1 - 1／2.718^3　＝　1 - 0.050　＝ 0.950　（９５．０％充電）

　　・・・・・

ｔ＝ +∞のとき、満充電に対し、
　　１－ｅ^(－∞/τ)　＝　１－ｅ^(-∞)　＝　1 - 0　＝ １　（１００％充電）


このように、方形パルスが積分回路に入力されれば、指数関数的に「なまった」波形になり、時定数τ＝ＲＣが大きいほど充電に時間がかかる、つまり、なまりが大きくなります。

No.1 回答者： mtaka2 回答日時： 2008/05/26 22:41

時定数が大きいほど、積分波形がなだらかになります。

具体的に説明すると、RC積分回路の時定数はτ=RCで表されますが、
これは、「τだけ時間がたつと、63%まで電圧が上昇する」ことを意味します。