積分

受験生です
∫√(x^2-4)dx

ルート(Ｘの二乗)－４
の積分がわかりません。

答えまででなくとも、やり方だけでも大丈夫です
どうかよろしくお願いします

No.5 回答者： nag0720 回答日時： 2011/06/20 20:18

＃２です。

x=2/cost　としたのは、
＃３さんの回答の、y=√(x^2-4) と　y=2tanθ　を合わせたものです。
2tanθ=√(x^2-4)
x^2=(2tanθ)^2+4=4/cos^2θ
x=2/cosθ


それより、＃２の回答が間違ってました。
(sint/cos^2t)'=1/cost+sin^2t/cos^3t
でした。


1/cost　の積分は、
1/cost=cost/cos^2t=cost/(1-sin^2t)=(1/2){cost/(1+sint)+cost/(1-sint)}
より、
∫(1/cost)dt=(1/2){log(1+sint)-log(1-sint)}
となります。

No.4 回答者： info22_ 回答日時： 2011/06/20 17:36

∫√(x^2-4)dx=∫(x^2-4)/√(x^2-4)dx

=∫(x^2-2-2)/√(x^2-4)dx
=∫(x^2-2)/√(x^2-4)dx -∫2/√(x^2-4)dx
=I1 + I2
ここで
{x√(x^2-4)}'=√(x^2-4) +(x^2)/√(x^2-4)=2(x^2-2)/√(x^2-2)
I1=∫(x^2-2)/√(x^2-4)dx =(1/2)x√(x^2-4)+C1

{log|x+√(x^2-4)|}'={1+x/√(x^2-4)}/{x+√(x^2-4)}=1/√(x^2-4)
I2=-∫2/√(x^2-4)dx
=-2log|x+√(x^2-4)|+C2

∴I=I1+I2=(1/2)x√(x^2-4) -2log|x+√(x^2-4)|+C (C=C1+C2,積分定数)

No.3 回答者： alice_44 回答日時： 2011/06/19 22:47

y = √(x^2-4) と置いてみましょう。

dy/dx = {(1/2)(x^2-4)^(^1/2)}(2x) = x/y より、
∫√(x^2-4)dx = ∫y dx = ∫x dy = ∫±√(y^2+4)dy です。
最右辺の積分が y = 2 tanθ で置換積分できることは、
有名な公式かと思います。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
はい。tanやSinを使った置き換えは私も学校で教わりました。最初にこの問題を見たとき、ルートの中の式が二乗と二乗だったので私もこの公式だと思い友人と、Alice４４さんの様に解いたのですが上手くいきませんでした…。

お礼日時：2011/06/20 18:11

No.2 回答者： nag0720 回答日時： 2011/06/19 17:08

x=2/cost

とおくと、
dx=2sint/cos^2t dt

∫√(x^2-4)dx
=∫√((2/cost)^2-4)2sint/cos^2t dt
=4∫(sin^2t/cos^3t)dt

あとは、
(sint/cos^2t)'=1/cos^2t+sin^2t/cos^3t
を利用して部分積分を適用すれば解けるはずです。

この回答へのお礼

なるほど…
たしかにできそうです。それにしても、最初の一歩の置換のひらめきがハイレベルですね…
(((;゜;Д;゜;)))

お礼日時：2011/06/20 18:03

No.1 回答者： noname#157574 回答日時： 2011/06/19 16:24

初等関数の範囲では積分不能です。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
初等関数について調べてみましたが、この場合も初等関数に当て嵌まるのかイマイチわからないのでもうしばらく考えてみます。

お礼日時：2011/06/20 18:00