方程式 x^3 -（a＋1）x ＋ a ＝ 0 （aは実数の定数） の異なる実数解の個数が2個となる

方程式 x^3 -（a＋1）x ＋ a ＝ 0 （aは実数の定数） の異なる実数解の個数が2個となるとき、aの満たす条件を求めよ。

解ける方、教えて下さい(´；ω；`)

No.7 回答者： sc348253 回答日時： 2017/04/21 19:08

仮に、aを定数と考えると

ーax+a+x^3ーx=ーa(xー1)+x(xー1)(x+1)=(xー1)(x^2+xーa)

異なる実数解の個数が２個となるとき、
（1） x^2+x-a= 0 が 1 を解にもつ（残りの解は 1 以外の解）
（2） x^2+x-a= 0 が 1 以外の重解をもつ
の２つの場合が考えられるから、

1) (xー1)^2(xーα) ただし、α=1ではないとする。
=x^3ー(α+2)x^2+(1+2α)xーα
係数比較して
ーα=a
1+2α=ー(a+1) …(1)
ー(α+2)=0
∴ a=ーα=2 で(1)を満たすので答えとして適する！

2) (xー1)(xーβ)^2 ただし、β=1ではないとする。
=x^3ー(1+2β)x^2+(β^2+2β)xーβ^2
係数比較して
ーβ^2=a
2β+β^2=ー(a+1) …(2)
ー(1+2β)=0
∴ a=ー(ー1/2)^2=ー1/4 で(2)を満たすので答えとして適する。
よって、a=2,ー1/4

No.6 回答者： sasa-san 回答日時： 2017/04/21 14:38

みなさん工夫して計算しているようなので、正攻法で計算してみることにします。

実数解2つを持つ3次式とのことなので、
方程式は　(x+p)^2・(x+q)=0　(p,qは実数で、p≠q)　と表すことができます。
これを展開して、x^3 +(2p+q)x^2 +(p^2 +2pq)x +p^2・q=0

方程式x^3-(a+1)x+a=0 と係数比較をすると
　2p+q=0 …①
　p^2 +2pq=-a-1 …②
　p^2・q=a …③
この連立方程式を解きます。

①よりq=-2p　
これを②、③に代入して
3p^2=a+1　、-2p^3=a
先にpを求めるほうが簡単そうなので、aを消すと
3p^2=-2p^3+1　→2p^3 +3p^2 -1=0
この式を因数分解をします。p=-1で成り立つので、
(p+1)(2p^2 +p-1)=0
2p^2 +p-1　もp=-1で0になるので
(p+1)^2・(2p-1)=0
p=-1,1/2　だとわかります。これを①②③に代入するとqやaも求められます。
したがって、(p,q,a)=(-1,2,2),(1/2,-1,-1/4)

このことから、方程式x^3-(a+1)x+a=0　は
a=2のとき　(x-1)^2・(x+2)=0
a=-1/4のとき　(x+1/2)^2・(x-1)=0
という方程式になることがわかります。

求める解答は、方程式が異なる実数解の個数が2個となるときのaの条件なので、
a=2,-1/4　が答えとなります。

No.5 回答者： yuji3690 回答日時： 2017/04/21 13:21

x^3-(a+1)x+a=0

パッと見でx=1を代入してみると、1-(a+1)+a=0で成り立つため、
(x-1)でくくると
x^3-(a+1)x+a=(x-1)*x^2+x^2-(a+1)x+a
=(x-1)(x^2+x)-ax+a
=(x-1)(x^2+x-a)
=0
となる。

この式の解は
x-1=0　もしくは　x^2+x-a=0
であるので、
x=1　もしくは
x=(1/2)(-1±√(1+4a))
である。

この時、実数解が２個となるには、
①
x=(1/2)(-1+√(1+4a))と
x=(1/2)(-1-√(1+4a))が重解である。
つまり
√(1+4a)=0
a=-1/4

②
x=(1/2)(-1+√(1+4a))と
x=1が重解である。
つまり
√(1+4a)=3
a=2

③
x=(1/2)(-1-√(1+4a))と
x=1が重解である。
つまり
-√(1+4a)=3
-√(1+4a)<0,0<3であるのでこれは成り立たない。

よってa=-1/4,2が解である。

No.4 回答者： guunagoona2015 回答日時： 2017/04/21 13:01

x^3-(a＋1)x＋a＝0 ･････ ① は、

x^3-ax-x+a=0
x^3-x-ax+a=0
x(x^2-1)-a(x-1)=0
x(x+1)(x-1)-a(x-1)=0
(x-1){x(x+1)-a}=0
(x-1)(x^2+x-a)=0 ･････ ②
と、因数分解でき、これから、実数解の１つは　x = 1 です。

① の異なる実数解の個数が２個となるとき、
（ア） x^2+x-a= 0 が 1 を解にもつ（残りの解は 1 以外の解）
（イ） x^2+x-a= 0 が 1 以外の重解をもつ
の２つの場合が考えられます。

（ア）の場合
x=1 を代入して
1+1-a=0　a=2
このとき、①は、②より
(x-1)(x^2+x-2)=0
(x-1)^2(x+2)=0
x=1, -2
となり、異なる実数解の個数が２個になります。

（イ）の場合
判別式をDとすると、
D=1^2-4･1･(-a)=0
1+4a=0　a=-1/4
このとき、①は、②より
(x-1)(x^2+x+1/4)=0
(x-1)(x+1/2)^2=0
x=1, -1/2
となり、これも異なる実数解の個数が２個になります。

（ア）、（イ）より
a=2、-1/4
が求まります。

No.3 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2017/04/21 12:26

(x-1)(x²+x-a)=0と変形。

x=1が解の一個だから、

x²+x-a=0が1と異なる重解を持てば、異なる実数解の個数が2個となる。
D=1+4a=0だから、a=-1/4
x²+x+1/4=(x+1/2)²=0 ∴x=-1/2で1では無いからok。

No.2 回答者： ShowMeHow 回答日時： 2017/04/21 10:48

微分使っていいなら、、、

三次曲線がｘ軸を2か所でしか接しないということだから、
y=x³-(a+1)x
としたときに、y'=0の時に、ｙ＝0になる場合だよね。

y'=3x²-a+1
y'=0⇒
x=±√((a-1)/3)
でこれをy(x)=0に代入して、、、

No.1 回答者： lon_donburi_dge 回答日時： 2017/04/21 09:35

この式は、因数分解できますよね。

それと、3次方程式の実数解は普通、1か3ですよね。
それが2とはどういう状況でしょうか。
それを考えれば導き出せるのでは？