△ABCにおいて、AB＝9、AC＝12、∠ACB＝θ、∠ABC＝２θのとき、cosθ、BCを求めよ

△ABCにおいて、AB＝9、AC＝12、∠ACB＝θ、∠ABC＝２θのとき、cosθ、BCを求めよ

細かく解説してもらえたら嬉しいです

No.3 ベストアンサー 回答者： sc348253 回答日時： 2017/05/01 18:26

正弦定理より

AB/sin∠ACB = AC/sin∠ABC=BC/sin∠BAC
∴ 9/sinθ=12/sin2θ =BC/sin(πー3θ) …(1)
ここで、sin2θ=2sinθcosθ より (1)は、
12・sinθ=9・sin2θ=9・2sinθcosθ
∴ cosθ=12/(9・2)=2/3 …Ans1

cos2θ=(cosθ)^2ー(sinθ)^2=(cosθ)^2ー｛1ー(cosθ)^2｝=2(cosθ)^2ー1
=2・(2/3)^2ー1=8/9ー1=ー1/9 …(2)
次に、余弦定理より
AB^2=AC^2+BC^2ー2AC・BC・cos∠ACB
∴ 9^2=12^2+BC^2ー2・12・BC・cosθ …(3)

AC^2=AB^2+BC^2ー2・AB・BC・cos2θ
∴ 12^2=9^2+BC^2ー2・9・BC・cos2θ
=9^2+BC^2ー2・9・BC・(ー1/9) …(4)

（４）ー(3)より
12^2ー9^2=9^2ー12^2ー2・BC｛9(ー1/9)+12・(2/3)｝
(144ー81)・2ー18・BC=0
∴ BC=7 …Ans2

No1…計算間違い！ 常識的に、他の辺が、9,12なのに7/9はおかしい！

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
理解できました。
ありがとうございました。

お礼日時：2017/05/02 19:02

No.2 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2017/05/01 12:09

あっ、間違い有り

x/sin(2π-3θ) →x/sin(π-3θ) =x/sin3θ

この回答へのお礼

がありがとうございます。
助かりました。
ありがとうございました。

お礼日時：2017/05/02 19:03

No.1 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2017/04/30 16:07

正弦定理を使う。

BCをXと置くと、
12/sin2θ=9/sinθ=x/sin(2π-3θ)
θ≦2πだからx/sin(2π-3θ) =x/sin3θ

9sin3θ=xsinθ　①
12sin3θ=xsin2θ　②

①×4 - ②×3を計算すると
4xsinθ=3xsin2θ xで両辺を割って整理すると
sinθ=3/4･sin2θ=3/4･(2sinθcosθ)=3/2･sinθcosθ　③

両辺をsinθで割って3/2･cosθ=１
∴cosθ=2/3

sinθ=√(1-cos²θ)=√(5/9)

①よりｘ=9sin3θ/sinθ

3倍角の公式よりsin3θ=3sinθ-4sin³θを代入すると
x=3-4sin²θ=3 - 20/9=7/9