次の問題をわかりやすく教えてください。 実数x,yがx^2+2xy+4y^2=9を満たすとき(1)x

次の問題をわかりやすく教えてください。

実数x,yがx^2+2xy+4y^2=9を満たすとき(1)x−2yの最大値と最小値(2)(x+2y)^2+2(x−2y)の最小値と最大値

質問者からの補足コメント

• すみませんが、数2までの知識でお願いします

    補足日時：2018/04/08 08:12

• (1)接するときに、なぜAが最大、最小になるのですか？

    補足日時：2018/04/08 15:30

No.4 ベストアンサー 回答者： majimelon37 回答日時： 2018/04/09 04:31

(1)接するときに、なぜAが最大、最小になるのですか？＞大変良い質問です。

楕円の式は①
x^2+2xy+4y^2=9＿①
図に示した太い線は、
x−2y=A＿②
をグラフに描いたものです。太線はAの値を変えると、線のかたむきは変わらないまま、上下に動きます。図の状態では、太線と楕円は２点で交わっています。この交点は、太線と楕円の両方の上に乗っています。楕円のグラフは、式①が成立する点の軌跡ですから、その点で式①は成立しています。太線のグラフは、式②が成立する点の軌跡ですから、その点で式②は成立しています。交点では両方の式が成立しています。
問題文を書き替えて、実数x,yがx^2+2xy+4y^2=9を満たすとき
(1)x−2y＝Aの成り立つ点をもとめよ、とすると、この交点が答えです。
Aの値をすこしずつ大きくすると、交点は少しずつ上に移動し、ついに交点がなくなります。その限界が接点です。交点がないと、式は成立しなくなります、上の接点は、Aが最大で2つの式が成立しています。
同様に、下の接点は、Aが最小で成立しています。
ついでに、(2)ではBの値を変えると、放物線が上下に動きます。

No.3 回答者： majimelon37 回答日時： 2018/04/08 15:19

すみませんが、数2までの知識でお願いします＞

No2.の回答は、連立方程式を解くだけで、2次方程式を解くだけだから、何もむつかしいことはやっていません。もともと問題がむつかしいから、知識よりも根気がいるようです。(1)は楕円と直線の交点を求めるのに連立方程式を解くが、解く２次方程式が重根となるよう判別式Dが０となる条件を求めるだけです。(2)は変数変換により、３次方程式または４次方程式になるのを避けて、２次方程式を使って解くので、複雑ですが、根気よく見れば、分かると思います。方法によって答えが変わるわけではないので、どうしても分からなかったら、問題がむつかしか過ぎたと思ってください。今はわからなくても、いつのまにか、能力があがって、できるようになります。
数２の範囲ではないが、条件付きの最大最小問題はラグランジュの未定係数法という定石の方法があります。希望があれば、それを書いてもよい。

No.2 回答者： majimelon37 回答日時： 2018/04/08 03:51

実数x,yがx^2+2xy+4y^2=9を満たすとき

(1)x−2yの最大値と最小値(2)(x+2y)^2+2(x−2y)の最小値と最大値
(1)
x^2+2xy+4y^2=9＿①
x−2y=A＿②
とおいて、①②を連立方程式として解く。①は楕円、②は直線の方程式である。
楕円と直線が交わるとき、連立方程式を解くと二つの交点が出る。
二つの交点が近づいて、一点になる時、直線は楕円に接する。そのときAは最大または最小になる。
②から2y=x−A＿③
これを①に入れると
x^2+x(x−A)+(x−A)^2=9
x^2+x^2−Ax +x^2−2Ax +A^2－9=0
3x^2−3Ax+A^2－9=0＿④
この方程式が、重根を持つ時、直線は楕円に接する。判別式D＝０とすると、重根になる。
D=(3A)^2－4･3(A^2－9)=0
9A^2－12(A^2－9)=0
－3A^2+108=0
A^2=36
A=±6＿⑤
A=6＿⑥
を④に入れると
3x^2−18x+36－9=0＿④
x^2−6x+9=0
(x−3)^2=0
x=3＿⑦
⑥⑦を③に入れると
2y=x−A＿③
=3−6=−3
y=−3/2＿⑧
以上よりx=3，y=−3/2のときx−2y=A=6は最大値。
次に、A=−6を④に入れて、同様に計算すると、
x=−3，y=3/2のときx−2y=A=−6は最小値。
左の図は楕円①と直線②が接する状態を示す。
(2)
x^2+2xy+4y^2=9＿①
(x+2y)^2+2(x−2y)=B＿⑨
とおいて、①⑨を連立方程式として解く。式を解きやすくするために
x+2y=u，x−2y=v＿⑩
と置く。すると⑨は⑪となる。⑪のグラフは右側の図で、u,v座標で放物線になる。
u^2+2v=B＿⑪
(u^2+v^2)/2と(u^2−v^2)/4を計算すると⑫⑬となるので、
①は⑭になる。
(u^2+v^2)/2=x^2+4y^2＿⑫
(u^2−v^2)/4=2xy＿⑬
x^2+2xy+4y^2=9＿①
(u^2+v^2)/2+(u^2−v^2)/4=9＿⑭
両辺に4を掛けると⑮になる。⑮のグラフは長径12、短径4√3の楕円である。
3 u^2+v^2=36＿⑮
⑪から⑯となり、⑯を⑮に入れると⑰になり、⑱を得る。
u^2=B−2v＿⑯
3 (B−2v)+v^2=36＿⑰
v^2−6v+3B−36=0
(v−3)^2−9+3B−36=(v−3)^2+3B−45=0＿⑱
これを解くと
v=3±√(45−3B)＿⑲
⑲を⑯に入れてuを求めると
u^2=B−2v= B−2(3±√(45−3B))
u=±√(B−2(3±√(45−3B)))＿⑳
⑲⑳からuまたはvが重根となる可能性があるのは、B=15とu=0となる場合である。この時、最大最小の可能性がある。それぞれを調べる。
B=15の時は、v=3，u=±√9=±3
v=3，u=3のとき、⑩からx=3，y=0でB=15＿㉑
v=3，u=−3のとき、⑩からx=0，y=−3/2でB=15＿㉒
u=0の時は、⑮からv^2=36となり、v=±6
⑪からB=±12
u=0，v=6のとき、⑩からx=3，y=−3/2でB=12＿㉓
この時も、楕円と放物線は接するが、B=12は最大と最小の中間にある。
u=0，v=−6のとき、⑩からx=−3，y=3/2でB=−12＿㉔
㉑㉒のB=15が最大値、㉔のB=−12が最小値である。

No.1 回答者： mathstudent 回答日時： 2018/04/06 11:08

(x＋y)^2＋(y√3)^2＝9

と変形をして、三角関数を用いた媒介変数表示をすれば良いと思います。