放物線y=x^2+xを平行移動したもので、点(2.4)を通り頂点が直線y=3x上にあり、かつ原点を通

放物線y=x^2+xを平行移動したもので、点(2.4)を通り頂点が直線y=3x上にあり、かつ原点を通らないような放物線を求めよ。
解説お願いします！

No.1 回答者： Dr-Field 回答日時： 2018/05/22 22:15

y＝x^2＋x

この放物線の式を x軸方向にa、y軸方向にb 平行移動させた式は
y＝(x-a)^2＋(x－a)＋b
これが点(2,4)を通るので、4＝(2-a)^2＋(2-a)＋b
4＝4－4a＋a^2＋2－a＋b
a^2－5a＋b＋2＝0
b＝－a^2＋5a－2・・・①

y＝(x-a)^2＋(x－a)＋b
＝x^2－2ax＋a^2＋x－a＋b
＝x^2＋(1－2a)x＋a^2－a＋b
＝{x＋(1－2a)/2}^2－{(1－2a)/2}^2＋a^2－a＋b
＝{x＋(1－2a)/2}^2－{1/4－a＋a^2}＋a^2－a＋b
＝{x＋(1－2a)/2}^2＋b－1/4
頂点は（ (2a-1)/2、b－1/4）　これがy＝3x上にあるのだから、
b－1/4＝(2a-1)×(3/2)
4b－1＝12a－6
4b＝12a－5・・・②

①と②を連立させて解く。
－4a^2＋20a－8＝12a－5
－4a^2＋8a－3＝0
4a^2－8a＋3＝0

(2a－1)(2a－3)＝0
故に、a＝1/2、b＝1/4、または a＝3/2、b＝13/4の２通りが答えの候補として出てくる。

a＝1/2、b＝1/4の時
y＝(x－1/2)^2＋(x－1/2)＋1/4
＝x^2－x＋1/4＋x－1/2＋1/4＝x^2
でもｙ＝x^2は原点を通るので、この問題の解としては不適格。

a＝3/2、b＝13/4の時
y＝(x－3/2)^2＋(x－3/2)＋13/4
＝x^2－3x＋9/4＋x－3/2＋13/4
＝x^2－2x＋4
これは原点を通らないので、この問題の解として適格。

答え　y＝x^2－2x＋4

No.2 回答者： takoハ 回答日時： 2018/05/22 22:23

y=x^2+x=(x+1/2)^2 ー1/4 は、y=x^2をx軸にー1/2 y軸にー1/4 にしたものだから

頂点のx座標をaとすれば、y座標は、y=3・aであるから、

y=(xーa)^2+3aとなり、(2,4)を通るから、
4=(2ーa)^2 +3a
a^2ーa=a(aー1)=0 条件より∴ a=1

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2018/05/28 19:42

y=x^2+x は y=x^2 の平行移動のひとつなので

y=x^2をベースに考えてよい。この平行移動は

y=(x-a)^2+b

ですが、頂点が、(a、b)だから、頂点の制約によりb=3a、つまり

y=(x-a)^2+3a を解けばよい。

原点通るとa^2+3a=0 → a=0、-3 なので、通らないという条件からa≠0かつa≠-3
(2、4)を通るので
4=(2-a)^2+3a=a^2-a+4 →a=0、1

従ってa=1

なので方程式は

y=(x-1)^2+3