f(x)＝(2x＋1)f′(x)＋x^2＋∫[0→1]xf′(x)dx がわからないので解いてくださ

f(x)＝(2x＋1)f′(x)＋x^2＋∫[0→1]xf′(x)dx
がわからないので解いてください。

解答はf(x)＝－1/3x^2＋2/3x＋7/9
となるそうです。

No.1 回答者： majimelon37 回答日時： 2018/06/14 13:22

f(x)=(2x＋1)f '(x)＋x^2＋∫[0→1]xf′(x)dx＿①

初めに斉次方程式を解いて、次に定数変化法を使います。斉次方程式とはf(x),f '(x)の付かない項を0にした方程式②を言います。
f(x)=(2x＋1)f '(x)＿②
1/(2x＋1)=f '(x)/f(x)
∫(f '(x)/f(x))dx=∫1/(2x＋1)dx
logf(x)=(1/2)log(2x＋1)+c
f(x)=C(2x＋1)^(1/2)＿③
次に定数変化法は積分定数Cをxの関数として、C(x)と書くと、③は④になる。
f(x)=C(x)(2x＋1)^(1/2)＿④
④を微分すると⑤となる。
f '(x)=C '(x)(2x＋1)^(1/2)+C(x)×(2x＋1)^(－1/2)＿⑤
④⑤を①に入れる。∫[0→1]xf′(x)dxは定数になるので、c1と書くと⑥になる。
C(x)(2x＋1) ^(1/2)=(2x＋1)(C '(x)(2x＋1)^(1/2)+C(x)×(2x＋1)^(－1/2))＋x^2＋c1＿⑥
0=(2x＋1)C '(x)(2x＋1)^(1/2)＋x^2＋c1
0=C '(x)(2x＋1)^(3/2)＋x^2＋c1
C '(x)(2x＋1)^(3/2)=－x^2－c1
C '(x)=－x^2×(2x＋1)^(－3/2)－c1(2x＋1)^(－3/2)＿⑦
積分すると
C(x) =∫{－x^2×(2x＋1)^(－3/2)－c1(2x＋1)^(－3/2)}dx+c2
2x＋1=t，dt=2dx＿⑧
の置換積分をすると
C(x)=∫{－x^2×(2x＋1)^(－3/2)－c1(2x＋1)^(－3/2)}dx+c2
=∫{－((t－1)/2)^2×t^(－3/2)－c1×t^(－3/2)}2dt+c2
=∫{－(t^2－2t+1)/4×t^(－3/2)－c1×t^(－3/2)}2dt+c2
=∫{－t^(1/2)/2+ t^(－1/2)－t^(－3/2)/2－2c1×t^(－3/2)}dt+c2
={－(t^(3/2))/3+2t^(1/2)+t^(－1/2)+4c1×t^(－1/2)}+c2
={(－((1/3)t^2+2t+1+4c1)}×t^(－1/2)+c2＿⑨
⑧のt=2x+1を入れると
C(x)={(－((1/3)(2x+1)^2+2(2x+1)+1+4c1)}×(2x+1)^(－1/2)+c2＿⑩
あと少し計算が残ったが、記入する時間がなくなったので、とりあえず、中間で投稿する。

この回答へのお礼

ありがとうございます‼

お礼日時：2018/06/14 16:16

No.2 回答者： Ae610 回答日時： 2018/06/16 00:39

f(x)＝(2x＋1)f'(x)＋x²＋∫[0→1]{xf'(x)}dx…①

↑からf(x)は高々2次関数である事が分る・・!

f(x)＝ax²+bx+cとして①が恒等式になるので、両辺の対応するxの冖の係数が等しくなる事から

a=-1/3
b=2/3
c=7/9

が導ける・・!

微分方程式とみて乗数変化法によっても同じ解に辿り着く・・!

この回答へのお礼

ありがとうございます❗

お礼日時：2018/06/16 10:50

No.3 回答者： majimelon37 回答日時： 2018/06/19 14:02

放物線y=x^2－2x＿①

をC1とする。C1を原点に関して対称移動したあとX軸方向にa、Ｙ軸方向にbだけ平行移動したあとの放物線をC2とする。C2の頂点がC1上にあり、点(2、2)を通るとき、a、bの値を求めよ。
(１) まず、原点に関して対称移動するには、式①でx→－x、y→－yの置き換えをします。
すると－y=(－x)^2－2(－x)＿②となる。これを書き換えると
－y=x^2+2x
y=－x^2－2x＿③
(２) X軸方向にa、Ｙ軸方向にbだけ平行移動するには、式③でx→x－a、y→y－bの置き換えをします。
y－b=－(x－a)^2－2 (x－a) ＿④
なお、y→y－bの置き換えの代わりに、yの式にbを加えると言ってもよく、同じ操作になります。C2の方程式は⑤となる。
y =－(x－a)^2－2 (x－a)+b＿⑤
(３) C2の頂点を求める。
式⑤を変形して平方完成形にする。
y =－(x－a)^2－2 (x－a)+b＿⑤
=－x^2+2ax+a^2－2x+2a+b＿⑥
=－x^2+2(a－1)x+a^2+2a+b
=－(x－(a－1))^2+(a－1)^2+a^2+2a+b
=－(x－(a－1))^2+2a^2+b+1＿⑦
頂点は(a－1，2a^2+b+1)＿⑧
(４)C2の頂点がC1上にあり、C2が点(2、2)を通る条件
⑧を式①に入れると、C2の頂点がC1上にある条件は⑨になる。
y=x^2－2x＿①
2a^2+b+1=(a－1)^2－2(a－1)＿⑨
(2、2)を式⑥に入れると、C2が点(2、2)を通る条件は⑩となる。
y =－x^2+2ax+a^2－2x+2a+b＿⑥
2 =－4+4a+a^2－4+2a+b＿⑩
⑨と⑩を連立方程式として解く。
⑨と⑩を加えると、bが消去される。
2a^2+b+1=(a－1)^2－2(a－1)＿⑨
2 =－4+4a+a^2－4+2a+b＿⑩
2a^2+3=(a－1)^2－2(a－1)－4+4a+a^2－4+2a=a^2－2a+1－2a+2－4+4a+a^2－4+2a
0=－8+2a， a=4＿⑪
a=4を，⑩に入れると
2 =－4+16+16－4+8+b＿⑩
b=－30＿⑫

No.4 回答者： majimelon37 回答日時： 2018/06/19 14:35

No.3です。

違う問題の回答を投稿してしまった。ゴメンナサイ。

No.5 回答者： diff3356 回答日時： 2018/06/21 09:08

y=f(x) とし、与式の両辺をｘで微分することにより、

(2x+1)*y"+y'=-2x.
を得ます。これより、
y=(-1/3)x^2+(2/3)x+C*√(2x+1)+D.
原式に代入し、任意定数を１つにして、
f(x)=(-1/3)x^2+(2/3)x+7/9+C*{√(2x+1)+1/3}.
これが与式の「一般解」(すべての解)です。
求めるものが「ｘの多項式関数」であるのなら、Ｃ＝0 です。

No.6 回答者： afilter 回答日時： 2018/06/23 10:29

質問者の解答は、不完全ですね。

これは、

ｙ’＋ｙ＝ｘ

の解答を　ｙ＝ｘ－１　としているようなものです。微分方程式を解くとは、
一般には微分方程式の階数分の任意定数（本問の場合１個）を含む解を求めることです。

私も、diff3356さんと略同じ答えに辿り着きました。
違っているのは、私の答えは根号の中が絶対値付きとなっている点です。

∫ｄｘ/ｘ＝logｘ+C　　ではなく、∫ｄｘ/ｘ＝log|x|+C

となるからです。ｘが負になる可能性があるのに、絶対値付けていない場合には
必ず減点していました。