円と放物線が接するとき、 x^2=4yでx実数条件よりy≧0だから 4y+(y-2)^2=r^2 よ

円と放物線が接するとき、

x^2=4yでx実数条件よりy≧0だから

4y+(y-2)^2=r^2 よって、y^2+4-r^2=0…（※）が y≧0に重解を持つ、と考えると、なぜ③の場合のrしか求められないんですか？

以下質問をまとめると、

①は接してはいないけど、yの値は一つしかないから「（※）がy≧0に唯一つの解を持つ」、つまり「重解を持つ」、に対応しないのはなぜか。

②はたしかにy≧0で接してるから（※）の重解条件で解けると思われるのに解けないのはなぜか。

誰か教えてください。

No.5 回答者： afilter 回答日時： 2018/07/18 07:06

追加説明です。

y^2-(2a-1)y+a^2-r^2=0は、y=x^2を用いれば
x^4-(2a-1)x^2+a^2-r^2=0
となります。
C1とC2が接する条件は、上記4次方程式が実数の重解をもつ条件と完全に一致します。
当然、その条件は昨日の結果と一致します。

No.4 回答者： afilter 回答日時： 2018/07/17 22:17

曲線と曲線が点Pで接するとは、その点において共通な接線をもつことです。

接線をもつわけですから、曲線は点Pにおいて微分可能であることが必要です。このような曲線が点Pで接しているとき、どちらかの曲線を少し移動させると、多くの場合共有点がなくなったり、極近くに二つの交点ができたりします。このような状況で、共有点が一つとなった状態を2曲線が接していると思ってもよいでしょう。

C1:ｙ=x^2 C2: x^2+(y-a)^2=r^2
y+(y-a)^2=r^2
y^2-(2a-1)y+a^2-r^2=0
上記2次方程式が、0の解、または、 正の重解をもつことがC1,C2が接する条件となります。
これは、上記説明により分かりますよね。

D=(2a-1)^2-4(a^2-r^2)=0 かつ 2a-1>0 すなわち, 4a=4r^2+1かつr>1/2
具体的には、
4a=4r^2+1 かつ　r>1/2・・・・①
または、
a=±r・・・・・・②
となります。
ご質問の曲線の場合、(0,2)とy=x^2/4上の点P との距離の最小値は、Pが原点に在る時で、２となります。③のような状況が現れないのは、中心を(0,2)に固定してしまったために起こりました。
例えば、円の中心を(0,3)とすれば、接する条件は、r=2√2(x=±2,y=1),r=3(x=y=0)となります。
r=3 のとき、円は、x^2+(y-3)^2=9とx^2+(y+3)^2=9の二つとなりますので、注意して下さい。

参考まで、
点(0,2)は特別な点です。r=2とした場合、原点を通る条件と重解条件を同時に満足しています。y=x^2/4の原点における曲率半径は円の半径と同じ２であるため、2つの曲線は原点付近で殆ど一致しています。

No.3 回答者： syotao 回答日時： 2018/07/17 14:59

あなたは重大な勘違いをしています。

画像の放物線と円の方程式から
（※）の式は確かに出ます。この式からr^2-4≧0したがってｒ≧2がでます。
ところで画像の③はｒ＜2でなければなりたちませんよね？
ということは③のばあいはおこらないということつまりｒ＜2なら円と放物線は
交わらないということです。
（※）の判別式＝0からはｒ＝2がでるからこれは②のばあいをあらわしています。
つまり円と放物線が接するのは②のばあいだけです。
またｒ＞2のときは①の場合になり（※）はプラスとマイナスの解を持ちます。
それは①のばあいは交わりはするけど接していないから当然の現象です。
そしてプラスの解が①の場合の交点のｙ座標をあらわすということです

No.2 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2018/07/17 06:28

円と放物線が接する問題は、1回は必ずハマル。

『接する』⇔『重解をもつ』が成り立たない場合があるからハマル。

『接する』→『重解をもつ』は必ず成り立つ、が、『接する』←『重解をもつ』が成り立たない場合がある。
例えば、
円 : x²+y²=1
放物線 : y=(1/4)x²+k

『x²を消去したyについての2次方程式が重解をもつ』⇔『k=–5/4』
ところがk=–5/4のとき、これらの曲線は接するどころか共有点すら持たない。

何故、こう言う事が起きるのか？
理由は「連立させてxを消去した式は、元の円・放物線と同値では無い」から。

円だから-1≦x≦1、-1≦y≦1
xを消去したyの2次方程式からはこの前提条件も消去されてしまう。

ちゃんと解くと解ると思うけど、
①、②には、図に書かれていない共有点も答えとして出て来てしまう。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2018/07/17 02:11

そもそも (2) と (3) が同時に発生することはない. だから (3) が得られる状況で (2) の場合の解が求まるはずがない.

(1) は y≧0 と y<0 にそれぞれ解を 1つずつ持つはず.