8x^3+12x^2+6x+1 を因数分解して、（2x+1）^3 または、（x+1/2）^3 と出す

Question

8x^3+12x^2+6x+1
を因数分解して、（2x+1）^3 または、（x+1/2）^3
と出すには、どうすれば良いですか？

x=-1/2 を因数に持つので、（8x^3+12x^2+6x+1） ÷（x+1/2）＝ ……

というやり方かな と思ったのですが、因数にx=-1/2 をもつ なんて まず見つけられないと思います。

むらさめ · Accepted Answer

公式を使うのが手っ取り早いと思います。
パスカルの三角形
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%91%E3%82%B9%E3%82%AB%E3%83%AB%E3%81%AE%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2
11
121
1331
から　(a＋b)^3＝a^3+3a^2･b+3a･b^2+b^3　と2項式の展開の公式を導くことができます。
これを、8x^3+12x^2+6x+1　に適応すると
8x^3+12x^2+6x+1
＝(2x+1)^3
となるのが判ります。
これには、項の係数を見てパスカルの三角形を思いつくかどうかが勝負になりますね。

tekcycle · Answer

私も見えなかったけれど....。

以下、三次の項の係数が正の場合を想定しています。

三次関数のグラフは描けますか？
一階微分してやれば二次式になるので、こいつならどうとでもなる。どうとでもできなければ話が始まらない。
y'＝０となるところが、無いのか、一つなのか、二つなのか。
ｙ’’＝０となる変曲点に於いて、その時のｙ'は正か０か負か。
変曲点に於いてもｙ'が正であれば、ｙ'という二次式は実数解を持たないことを意味します。
図形的にも、変曲点に於いても傾きが正、最も傾きが小さく(負の方向に大きく)なるところでも正ということは、極値を二つ持つことはできない。極値を二つ持つには、変曲点で傾きは負になってなければならない。図形的に考えて。
従って、ｙは単調増加。ｙ＝０となるｘの値は一つしかない。
ｙ’’＝０となる変曲点に於いて、ｙ'が負の場合は、ｙ'という二次関数の頂点のｙ座標が負になっているので、そこから左右両端が上に伸びるはずだから、ｙ'＝０となる実数解を二つ持つはず。
つまり、元の関数のグラフは、極値を二つ持つ。
ただし、左下側から、ｘが大きくなるにつれてｙも増えつつ、極値を迎えて今度はｙが減っていって、次の極値は前の極値よりｙが小さくなって、そこからｙがまた大きくなって、右上に抜けていくはずですが、最初のｘが小さくｙが大きい方の極値でも負だったり、あるいは、二番目の、ｘが大きくyが小さい方の極値でも正だったりすると、ｙ＝０となるのは1回だけ、つまり実数解は一つしかない。
ところが、最初の極値が正で次の極値が負の場合は、実数解を三つ持つ。
どちらかの極値がｙ＝０の場合は、そこで重解していて、実数解は二つ。
極値は一つも持たずに三重解している、というケースもある。
等々を考えてみる。

何が言いたいかというと、一階微分二階微分して、グラフの大凡の形状を把握して、極値に対して実数解がどの辺りにありそうか、とあたりを付けるという手もあるでしょう、ということ。
非常手段として。
極値のｘ座標を元の式にぶち込んだらどうなるか。
０や±１をぶち込んだときの値も参考になるんでしょう。
勿論、三次の項の係数や０次の項の数値も参考に。

それと、当たり前だけれど、因数分解、と決まっているなら、かけたらその値になるような整数が候補でしょう。
８だったら±１±２±４±８が候補。±８の場合は相手が±１になる可能性が高いので、あまりやらなくていいかもしれない。

doc_somday · Answer

もし理系の三年生なら、見たとたん答えが出ないともうアウトです。これくらい暗記しておいて下さい。x^3の係数が2^3である段階で、(2x+1)^3をまず考え、それが違っていてからゆっくり考えるという状態でないと困ります。

drjoyhistory · Answer

こういうのは、
ｘ=0, ±1を代入してみます。与式をf(x)とすると、
f(0)=1でf(-1)=-1ですね。
ですから、間のx=-1/2だとf(x)が0になるのではなかろうかと。
慣れてくれば他の回答の通りでいいですがね。
あとは、x３乗の係数が8のときは、x=±1/2を因数に持つ可能性があることを頭の隅っこに入れておきましょう。

yuu1800 · Answer

高校で　(a＋b)^3＝a^3+3a^2･b+3a･b^2+b^3　を公式として覚えさせられたと思うので、
そこから解きます。覚えていないならNo1さんのようにパスカルの三角形ですね。

＞因数にx=-1/2 をもつ なんて まず見つけられないと思います。
高2で習う因数定理を使えば、見つけられると思います。
係数に2の倍数が多いし、12x^2+6xの部分や、8x^3+1の部分に着目すれば、
まぁ-1/2だろうとなるのは自然かなと・・・

8x^3+12x^2+6x+1 を因数分解して、（2x+1）^3 または、（x+1/2）^3 と出す

公式を使うのが手っ取り早いと思います。

私も見えなかったけれど....。

もし理系の三年生なら、見たとたん答えが出ないともうアウトです。

こういうのは、

高校で (a＋b)^3＝a^3+3a^2･b+3a･b^2+b^3 を公式として覚えさせられたと思うので、

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高校で　(a＋b)^3＝a^3+3a^2･b+3a･b^2+b^3　を公式として覚えさせられたと思うので、