「x^4+4x^3-6x^2+4x+8=0のxの値を求めよ(x=1+i以外)」 この問題の解法を教え

「x^4+4x^3-6x^2+4x+8=0のxの値を求めよ(x=1+i以外)」
この問題の解法を教えてください
ちなみに答えはx=1-i、3±√5です

No.2 ベストアンサー 回答者： kairou 回答日時： 2019/03/14 20:49

共役な複素数 と云う言葉は 習いませんでしたか。

一つの解が x=1+i ならば x=1-i も 解になります。
従って、問題の式は (x-1-i)(x-1+i) で 割り切れることになります。
(x-1-i)(x-1+i)={(x-1)-i}{(x-1)+i}=(x-1)²-i²=x²-2x+2 。
x⁴+4x³-6x²+4x+8=(x²-2x+2)(x²-6x+4)=0 。
つまり、x²-6x+4=0 から x=3±√5 。

No.4 回答者： 20170130 回答日時： 2019/03/15 13:35

解説は他の回答者様に同じだが

なにかおかしい

x⁴+4x³-6x²+4x+8=(x²-2x+2)(x²-6x+4)　ではなく
x⁴+4x³-6x²+4x+8=(x²-2x+2)(x²+6x+4)　になって

x=1-i、-3±√5 となると思う

この回答へのお礼

答え3±√5じゃなくて-3±√5でした！ありがとうございます

お礼日時：2019/03/15 17:06

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/03/15 01:27

a+bi (iは虚数単位、a,bは実数) という複素数に対して、

a-bi を「共役な複素数」と言います。
実数係数の多項式が虚数の根を持つ場合、
その根に共役な複素数もまた根になります。
実数解を持たない(実数係数)二次方程式の解が
(-b±√D)/2a (D<0) と虚数部に ± のついた形をしていた
という、例のアレです。

今回の例題では、方程式 x^4+4x^3-6x^2+4x+8=0 が
x=1+i という解を持つ(らしい)というヒントが与えられています。
x=1+i が本当に解であるかは代入して確認するにしても、
確認が済んだ時点で x=1±i が解であることは判るのです。

因数定理により、多項式 x^4+4x^3-6x^2+4x+8 が
(x-1-i)(x-1+i) = x^2-2x+2 で割り切れることが判るので、
多項式の割り算 (x^4+4x^3-6x^2+4x+8)÷(x^2-2x+2) を実行すれば
(x^4+4x^3-6x^2+4x+8) = (x-1-i)(x-1+i)(x^2-6x+4) が得られます。
あとは二次多項式を(複素数係数で)因数分解するだけなので、
解の公式でも使えば済みますね。

No.1 回答者： takoハ 回答日時： 2019/03/14 19:11

x=1+i がわかっているなら、共役複素数の性質で、x=1ーi も解であるから

残りは2次式になるから、
解の公式か 平方完成による方法で全ての解がわかるはず！