過去に
「ii)
f(z)=1/(z^2-1)
r>2
C={z||z-1|=r}
の時は
ローラン展開は
f(z)=Σ_{n=-∞~∞}a(n)(z-1)^n
a(n)={1/(2πi)}∫_{C}{f(z)/(z-1)^(n+1)}dz
n≧-1
n+1≧0
g(z)=f(z)/(z-1)^(n+1)
a(n)={1/(2πi)}∫_{C}g(z)dz
|z-1|<rで
z=1でn+2位の極
z=-1で1位の極
の2つの極を持つから
留数定理から
a(n)=Res(g(z),-1)+Res(g(z),1)
Res(g(z),-1)
=lim_{z→-1}{1/(z-1)^(n+2)}
=-1/2^(n+2)
Res(g(z),1)
={1/(n+1)!}lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}
=-1/(-2)^(n+2)
a(n)=1/(-2)^(n+2)-1/(-2)^(n+2)=0
∴
a(n)=0」
とmtrajcp様から教えて頂いたのですが、
「Res(g(z),-1)
=lim_{z→-1}{1/(z-1)^(n+2)}
=-1/2^(n+2)」の
「-1/2^(n+2)」は「1/(-2)^(n+2)」とも置けるのでしょうか?
どうかよろしくお願い致します。
A 回答 (5件)
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No.5
- 回答日時:
> ii)のn≦-2の時に関してはわかりました。
ほんとうかwwwww
であれば、f(z) のローラ展開の係数の一般項である a_n を求めるのに、n≧-1 の場合を考える必要など、まったくないことがわかったはずだが。
以下、No.4 の n≦-2 の場合の説明を、もう少し丁寧に説明したつもり。
出血大サービスwwwwwwwwwwwwwwwwwww
https://imepic.jp/20240425/278390
No.4
- 回答日時:
訂正します
ii)
f(z)=1/(z^2-1)
r>2
C={z||z-1|=r}
の時は
ローラン展開は
f(z)=Σ_{n=-∞~∞}a(n)(z-1)^n
a(n)={1/(2πi)}∫_{C}{f(z)/(z-1)^(n+1)}dz
n≧-1 のとき
n+1≧0
g(z)=f(z)/(z-1)^(n+1)
a(n)={1/(2πi)}∫_{C}g(z)dz
|z-1|<rで
z=1でn+2位の極
z=-1で1位の極
の2つの極を持つから
留数定理から
a(n)=Res(g(z),-1)+Res(g(z),1)
Res(g(z),-1)
=lim_{z→-1}{1/(z-1)^(n+2)}
=1/(-2)^(n+2)
Res(g(z),1)
={1/(n+1)!}lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}
=-1/(-2)^(n+2)
a(n)=1/(-2)^(n+2)-1/(-2)^(n+2)=0
∴
a(n)=0
n≦-2 のとき
0≦-n-2
g(z)
=f(z)/(z-1)^(n+1)
=f(z)(z-1)^(-n-1)
=(z-1)^(-n-2)/(z+1)
a(n)={1/(2πi)}∫_{C}g(z)dz
|z-1|<r で
z=-1だけで1位の極を持つから
留数定理から
a(n)
=Res(g(z),-1)
=lim_{z→-1}(z-1)^(-n-2)
=(-2)^(-n-2)
∴n≦-2のとき
a(n)=(-2)^(-n-2)
No.3
- 回答日時:
ii)
f(z)=1/(z^2-1)
r>2
C={z||z-1|=r}
の時は
ローラン展開は
f(z)=Σ_{n=-∞~∞}a(n)(z-1)^n
a(n)={1/(2πi)}∫_{C}{f(z)/(z-1)^(n+1)}dz
n≧-1 のとき
…(省略)
a(n)=0
n≦-2 のとき
0≦-n-2
g(z)
=f(z)/(z-1)^(n+1)
=f(z)(z-1)^(-n-1)
=(z-1)^(-n-2)/(z+1)
a(n)={1/(2πi)}∫_{C}g(z)dz
|z-1|<r で
z=-1だけで1位の極を持つから
留数定理から
a(n)
=Res(g(z),-1)
=lim_{z→-1}(z-1)^(-n-2)
=(-2)^(-n-2)
∴n≦-2のとき
a(n)=(-2)^(-n-2)
ありがとうございます。
ii)のn≦-2の時に関してはわかりました。
ii)のn≧-1の時に関して質問があります。
ii)のn≧-1の時、
「Res(g(z),-1)
=lim_{z→-1}{1/(z-1)^(n+2)}
=-1/2^(n+2)
Res(g(z),1)
={1/(n+1)!}lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}
=-1/(-2)^(n+2)
a(n)=1/(-2)^(n+2)-1/(-2)^(n+2)=0
∴
a(n)=0」
との事ですが
Res(g(z),-1)
=lim_{z→-1}{1/(z-1)^(n+2)}
=-1/2^(n+2)の計算は正しくは
Res(g(z),-1)
=lim_{z→-1}{1/(z-1)^(n+2)}
=1/(-2)^(n+2)ではないのでしょうか?
そうでないと
a(n)=1/(-2)^(n+2)-1/(-2)^(n+2)=0と計算出来ないとおもうのですが、どうかよろしくお願い致します。
No.1
- 回答日時:
その引用、ほんとうに正確なのか?
> ii)
> f(z)=1/(z^2-1)
> r>2
> C={z||z-1|=r}
> f(z)=Σ_{n=-∞~∞}a(n)(z-1)^n
> a(n)={1/(2πi)}∫_{C}{f(z)/(z-1)^(n+1)}dz
この条件で 1/(z^2-1) を、z = 1 でローラン展開すれば
a(n) = (-2)^(n-2)
になるはずだが。
はい。
当時頂いた解答をそのままコピペしたので。
「 この条件で 1/(z^2-1) を、z = 1 でローラン展開すれば
a(n) = (-2)^(n-2)」
とは
「Res(g(z),1)
={1/(n+1)!}lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}
=-1/(-2)^(n+2)」
の計算が間違えている事をいっているのでしょうか?
また、質問において、
「lim_{z→-1}{1/(z-1)^(n+2)}
=-1/2^(n+2)」
は間違っている気がします。
正しくはlim_{z→-1}{1/(z-1)^(n+2)}
=1/(-2)^(n+2)
だと思うのですが、いかがでしょうか?
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