No.3ベストアンサー
- 回答日時:
結局
x1-ax2, x2-ax3, ... , xn-ax1が一次従属の条件が
n次行列式
det 1,0,0,・・・ 0,-a =0 ということです。
-a,1,0,・・・ ,0, 0
0,-a,1,・・・ 0, 0
0, 0,-a,1,・ ・ 0, 0
・・・・・・・・・・・・
0, 0,・・・・・・・ -a,1
この行列式はi行目をa倍して2行目に加えて次数を1つ落としていく、
そしてあらたな行列式の1行目をa倍して2行目に加えて次数を1つ
落としていく.....をくりかえして最終的に2次行列式
det 1,-a^(n-1) =1-a^n になるので
-a, 1
求める一次独立の条件はa^n≠1 になります。
あ、なるほど、そういわれてればなるほどとおもいました。逆になんでわからかなたんだろうとおもったら、教科書はもうちょっと一般的な場合を書いてその, m = 1の場合としてました。いずれにせよ, ありがとうございます。
No.5
- 回答日時:
non trivial な解をもつ条件が
係数の行列式=0 というのはよくでてきますねぇ、
回答してて、そうおもいました(^^);
No.1
- 回答日時:
Vを複素ベクトル空間とし、x1,...,xn∈Vが一次独立であるとする。
aを複素数とする時、
s1(x1-ax2)+s2(x2-ax3)+...+sn(xn-ax1)=0
とすると
(s1-asn)x1+(s2-as1)x2+(s3-as2)x3+...+(sn-as(n-1))xn=0
s1=asn
s2=as1
s3=as2
...
sn=as(n-1)
s1=aas(n-1)=a^3s(n-2)=…=(a^n)s1
(a^n-1)s1=0
a^n≠1のとき
s1=0
s2=as1=0
s3=as2=0
…
sn=as(n-1)=0
だから
(x1-ax2),(x2-ax3),,...,(xn-ax1)がVで一次独立である
a^n=1のとき
k=1~nに対して
a^k≠0だから
sn=1とすると
s1=a≠0
s2=a^2≠0
s3=a^3≠0
…
s(n-1)=a^(n-1)≠0
sn=1≠0
だから
(x1-ax2),(x2-ax3),,...,(xn-ax1)がVで一次従属
∴
(x1-ax2),(x2-ax3),,...,(xn-ax1)がVで一次独立であるためのaに関する必要十分条件は
a^n≠1
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