正規直交基底

(問題)
３つのベクトルa=(1,1,1,1) b=(1,-1,1,-1) c=(1,1,-1,-1)がある。（表記が違いますが、列ベクトルです）
1.a,b,cが互いに直交していることを示せ。
2.a,b,cの正規直交基底を求めよ。
3.a,bc,の全てに直交するベクトルを1つ求めよ。

というものなのですが。疑問点があるので答えて頂ければ幸いです。
1.の直交を示すことはそれぞれ内積a・b a・c b・ｃが0であることから示せます。（これは正しいと思います）
2.の正規直交基底なのですが、これは互いに直交しているため、それぞれの大きさを1になるように正規化すれば良く、複雑な計算は必要ないですよね？
また、問題は四次元のベクトルですが、3つだけで正規直交基底と言えるのですか？
R^4の正規直交基底と問題2が示す正規直交基底は別物ですか？
また、3で全てに直交するベクトルを1つ求めよとありますが、このベクトルを正規化すれば、
それらを全て合わせてR^4の正規直交基底ということでよろしいのですか？
ちなみに全てに直交するベクトルdは(1,-1,-1,1)となりました。

質問を煩雑に羅列してしまい申し訳ないですが解答よろしくおねがいします。

No.3 ベストアンサー 回答者： EinStein1qqq 回答日時： 2012/04/03 00:02

>> 1.の直交を示すことはそれぞれ内積a・b a・c b・ｃが0であることから示せます。

（これは正しいと思います）

それで正しいと思います。


>> 2.の正規直交基底なのですが、これは互いに直交しているため、それぞれの大きさを1になるように正規化すれば良く、複雑な計算は必要ないですよね？

これも正しいと思います。
そもそも問題文2「a,b,cの正規直交基底を求めよ。」というのはよくない表現と思います。「a,b,cで生成される部分空間の完全正規直交基底を1つ求めよ。」のような表現がよいと思います。それともシュミットの直交化をせよという意味だったのでしょうか？


>> また、問題は四次元のベクトルですが、3つだけで正規直交基底と言えるのですか？

この3つだけで、正規直交基底と言えると思います。
正規直交基底と言うのは数は関係しません。たとえば{(1/2, 1/2, 1/2, 1/2)}のように1つだけでも正規直交基底になりますし、{(1/2, 1/2, 1/2, 1/2), (1/2, -1/2, 1/2, -1/2)}のように2つでも正規直交基底になります。

>> R^4の正規直交基底と問題2が示す正規直交基底は別物ですか？

質問の意図がよく把握できないのですが、少し勘違いされているように思います。

(1)正規直交基底と言うのは、互いに直交していて、長さが1になるベクトルの組み合わせになっているものです。従って、そのようなベクトルの組み合わせはたくさんあります。「R^4の正規直交基底」も1つではありませんので、それが問題2のベクトルと同じかどうかという質問自体意味がないことになります。

(2)「R^4の正規直交基底」を
　{(1,0,0,0), (0,1,0,0), (0,0,1,0), (0,0,0,1)}
と考えられておられると思います。おそらくこの直交系は「基本直交基底」というような名前で呼ばれていると思います。それでしたら、問題2の基底とは異なります。

>> また、3で全てに直交するベクトルを1つ求めよとありますが、このベクトルを正規化すれば、
それらを全て合わせてR^4の正規直交基底ということでよろしいのですか？

それでよいと思います。
ただ「R^4の正規直交基底」は「R^4の完全正規直交基底」のことを言っておられるのではないでしょうか。完全正規直交系というのは、正規直交系がそのベクトル空間を生成できるものを言います。R^4の完全正規直交系は4つのベクトルが必要です。教科書等でご確認ください。

>> ちなみに全てに直交するベクトルdは(1,-1,-1,1)となりました。

実際にa, b, c それぞれと内積を計算すればa, b, c と直交していることが分かりますので、それでよいとも思います。

以上、拙い説明ではありますが不明点等がありましたらまたご連絡ください。

この回答へのお礼

私の質問に1つ1つ答えていただきありがとうございました。
概ね理解し、線形代数に対する理解が深まりました。
本当にありがとうございました。

お礼日時：2012/04/03 21:39

No.4 回答者： stomachman 回答日時： 2012/04/03 07:12

ANo.2のコメントについてです。

> 問題はこのURLの2ページ目の第一問なのですが、

　なるほど。こんな問題がホントに入試に出た場合には、

「ベクトル３個だけから成る集合は線形空間になっていないから、その正規直交基底は定義されない。そこで、これらのベクトルが張る部分空間の正規直交基底を考えると、そのひとつは以下の通りである…」
ぐらいの但し書きを付けた上で答案書くしかないでしょうね。

　万一問題文を読み違えていて、実は問題文にきっちり沿った答案が書けるものだったとしても（いや、この場合は違いますが）、こういう但し書きなりの問題についてきちんとした答が書いてあれば、いくばくかの部分点が期待できなくもないでしょう。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
やはり3つでは正規直交基底は定義されないことがわかりました。
ありがとうございました。

お礼日時：2012/04/03 21:39

No.2 回答者： stomachman 回答日時： 2012/04/02 14:08

1と3はOK。

2は問題文が意味不明。写し間違えてません？たとえば「a,b,cが張る部分空間の正規直交基底」とか。

この回答への補足

http://isw3.naist.jp/IS/nyushi/faq/examquestions …
問題はこのURLの2ページ目の第一問なのですが、
やはり問題の意味がよくわからないですよね？

補足日時：2012/04/02 21:16

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2012/04/02 02:13

2 は何を求めているのかがわからん.... ベクトル空間に対する「基底」なら意味はわかるけど, 「3本のベクトルに対する基底」は普

通意味をなさないねぇ.