数学問題

{an}は初項が1公差が正の等差数列、{bn}は初項が1
公比が正の等比数列とする。
２つの数列{an}{bn}から値が一致する項を順に取り出して{cn}を作ると、この関係を満たす。
c1=a1=b1 , c2=a2=b3 , c3=a6=b5
{an}の公差をd 、{bn} の公比をr とするとき、dとrを求めよ。

Tn=Σ(K=1からｎまで)akbkとする。
Tnを求めよ。

お願いします！

No.3 回答者： yuji3690 回答日時： 2017/02/01 17:22

とりあえず式で表してみましょう。

a1＝1,a2=1+d,a6=1+5d
b1=1,b3=r^2,b5=r^4
c2=1+d=r^2
c3=1+5d=r^4
1+5d=r^4=r^2^2=(1+d)^2=1+2d+d^2
3d=d^2
d=3
r^2=1+3=4
r>0
r=2

ak=1+3(k-1)
bk=2^(k-1)
akbk=(1+3(k-1))*2^(k-1)
=-2*2^(k-1)+3k*2^(k-1)

Tn=Σakbk(k=1~n)
=-2Σ2^(k-1)+3Σk*2^(k-1)

Σ2^(k-1)は初項1公比2の等比数列の和です。
Σk*2^(k-1)は等比数列と等差数列の複合形の和とでも言いましょうか。（＝Sとします）
S=1+2*2+3*2^2+4*2^3+…+(n-2)*2^(n-3)+(n-1)*2^(n-2)+n*2^(n-1)
2S=2+2*2*2+2*3*2^2+2*4*2^3+…+2(n-2)*2^(n-3)+2(n-1)*2^(n-2)+2n*2^(n-1)
S-2S=1+2(2-1)+2^2(3-2)+2^3(4-3)+…+2^(n-2)((n-1)-(n-2))+2^(n-1)(n-(n-1))-2^n*n
-S=1+2+2^2+2^3+…+2^(n-2)+2^(n-1)-2^n*n
＝（　1+2+2^2+2^3+…+2^(n-2)+2^(n-1)　）-2^n*n
これは等比数列の和で表現できるので
＝Σ2^(k-1)(k=1~n)-n*2^n
S=-Σ2^(k-1)+n*2^n

よって
Tn=-2Σ2^(k-1)-3Σ2^(k-1)+3n*2^n
＝-5Σ2^(k-1)+3n*2^n
=-5((1-2^n)/(1-2))+3n*2^n
=5(1-2^n)+3n*2^n
=5-5*2^n+3n*2^n
=5+(3n-5)*2^n
となります。

ab1=-2+3*1=1
ab2=-4+6*2=8
ab3=-8+9*4=28
T1=1
T2=9
T3=37
合ってると思います。

No.2 回答者： Ku-Mei 回答日時： 2017/02/01 16:40

数列の条件より、２つの数列の一般項は、それぞれ

　　an = 1 + d(n - 1), 　bn = r^(n - 1)
となります。次に、c1, c2, c3 の条件より、
　　c1 = 1, c2 = 1 + d = r^3, c3 = 1 + 5d = r^4
が得られます。後ろの２式を、d と r の連立方程式として解く。
途中経過で、r^4 - 5r + 4 = 0 が出てきます。これを解いて、
　　r = +- 1, +- 2
が出ますが、rが正である条件から、負の方は除かれます。
ｒ＝１のとき、d = 0 となり、公差が正の条件に合わない。
r = 2 のとき、d = 3 が得られる。
よって、求める解は、d = 3, r = 2 である。

次に、Tn を求めるために、まず ak*bk を計算すると、
　　ak*bk = 2^(k - 1)(3k -2) = 3*k*2^(k - 1) - 2^k
が得られます。そして、これを k = 1 から n まで加えるわけです。
2^k の和は、等比数列の和で求められますが、一般項が 3*k*2^(k - 1) の部分数列の和は、少し細工が必要になります。
唐突ですが、x は１ではないとして、
f(x) = 1 + x + x^2 + ... + x^k + ... + x^n
を考えます。これをxで微分すると、
f'(x) = 1 + 2x + ... + k*x^(k - 1) + ... + n*x^(n - 1)
が得られます。求めたい部分数列の和は、3f'(2) となります。そのため、まず、f(x) を等比数列の和として求めると、
　　f(x) = {1 - x^(n + 1)}/(1 - x)
となるから、これを x で微分して、
f'(x) = {nx^(n + 1) - (n + 1)x^n + 1}/(x - 1)^2
となる。したがって、求める Tn は、
Tn = 3*f'(2) - 2{2^n - 1}/(2 - 1)
= (3n - 5)*2^n + 5
となります。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2017/02/01 14:55

何がわからないんでしょうか? 自分で考えて, できたところと詰まっているところをきちんと書いてください.