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5桁の整数Nについて、Nの万の位をa、千の位をb、百の位をc、十の位をd、一の位をeとする。Nが11で割り切れるための必要十分条件はa-b+c-d+eが11の倍数であることを示せ。また、各桁の数字がすべて異なる5桁の整数のうち、22で割り切れる最大の整数を求めよ。

解説お願いします!

A 回答 (3件)

桁数減らして、



> 百の位をc、十の位をd、一の位をeとする。

3桁の整数は、
100c + 10d + e
と書けます。

11をくくり出して、

99c + c + 11d - d + e
11(9c + d) + (c - d + e)
なので、この3桁の整数に関しては、c-d+eが11の倍数なら、11で割り切れるとか。


> 各桁の数字がすべて異なる5桁の整数のうち、22で割り切れる最大の整数を求めよ。

同様に、a, b, c, d, eを足すのか引くのかした結果が22の倍数とかって条件になるでしょうから、
abcdeの順、足し算してる順に、計算結果が22になるよう、9から大きい数を当てはめてみてとか。
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この回答へのお礼

ありがとうございました!分かりやすかったです!

お礼日時:2019/04/12 06:51

N = a・10^4 + b・10^3 + c・10^2 + d・10 + e ですね。



10^4, 10^3, 10^2 を 11 で割ってみると
10^4 = 11・909 + 1,
10^3 = 11・90 + 10,
10^2 = 11・9 + 1 なので、

N = a(11・909+1) + b(11・91-1) + c(11・9+1) + d(11-1) + e
= 11(909a+91b+9c+d) + (a-b+c-d+e) と書けます。

この式を見れば、
N が 11 の倍数であることと a-b+c-d+e が 11 の倍数であることが
同値だと判りますね。

22 の倍数は、11 の倍数かつ 2 の倍数です。
前の N で、 a-b+c-d+e が 11 の倍数かつ e が偶数であればよい。
その中で最大のものを見つけるには、
なるべく左の桁の数字が大きくなるようにして
右のほうの桁で倍数を合わせます。

a = 9. b = 8, c = 7 とすると、 a-b+c-d+e = 8-d+e.
これを 11 の倍数にするには、
d = 6 だと e = 9 となって e が奇数だったり 9 がダブったりいろいろまずい。
d = 5 だと e = 8 となって e は偶数だが 8 がダブってしまう。
d = 4 だと e = 7 でまた e が奇数だし 7 がダブる。
d = 3 なら e = 6 で、a-b+c-d+e = 11 だし e は偶数で ok です。

よって答えは 98736.
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この回答へのお礼

丁寧な回答ありがとうございました!

お礼日時:2019/04/12 06:52

検索するとすぐに出てくる


http://manabi.matiralab.com/times11/

この方式で考えると
x 98769
x 98758
x 98747
〇98736
あたりになるのかな。
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「10番目の46が出たので、11番目.12.13と足していき予想を立てる」
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(3)
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Q解答お願いします! 解き方がまったくわかりませんでした。

解答お願いします!
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Aベストアンサー

>((3y')x(y^2) + y^3 = x^2.
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積の微分法を知っていますか?
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□×(□+1)=2756
□には同じ数字が入ります。

□×(□+1)×(□+2)=54834
□には同じ数字が入ります。

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2756=2×1378
=2×2×689=4×689
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(1+2+2²)(1+3)(1+5)(1+7)
これは2²x3x5x7=420の約数 に関連する展開式です
これを展開してできる項は1や2²x5x7=140,2x3x5x7=210など多数ありますが、その1つ1つは420の約数になります
そして、1つ1つ展開する場合
1つ目のカッコからは1か2か2²(3個中1個)を選んで
2つ目のカッコからは2個中1個を
3つ目のカッコからは2個中1個を
4つ目のカッコからは2個中1個を
選んで掛け算して1や140や210などの項ができるのですから
展開して出来る項の総数は3x2x2x2=24です。
つまり420の約数は24個となります

20の約数についてなら
20=2²x5ですから
(1+2+2²)(1+5)を展開してできる項の1つ1つが20の約数となります(実際に展開して確認すると納得が行きます)
展開してできる項の数は3x2=6ですから、20の約数の数は6こと分かる、と言う仕組みです。

これを踏まえ(2)
約数が8個となる数の、約数 に関連する展開式のタイプは
①(a⁰+a¹+a²+・・・+a⁷)
②(a⁰+a¹+a²+a³)(b⁰+b¹)
③(a⁰+a¹)(b⁰+b¹)(c⁰+c¹) ただしa,b,cは素数
の3つです!(これがヒントに書かれている事の意味)
3つのタイプとも、ある約数が8個であるという話なのですが
①タイプでは約数8個を持つ数nとしては、a=2、つまりn=2⁷=128に関する話とする場合が最小です。
②ではa=2,b=3,つまりn=2³x3¹=24の約数に関する話とするときが(約数8個を持つ数nとして)最小です。
③ではa=2,b=3,c=5つまりn=2x3x5=30の約数に関する話とするときが(約数8個を持つ数nとして)最小です。
このうちで最小のものは②の24ですからこれが求めるべき答えとなります!

(1+2+2²)(1+3)(1+5)(1+7)
これは2²x3x5x7=420の約数 に関連する展開式です
これを展開してできる項は1や2²x5x7=140,2x3x5x7=210など多数ありますが、その1つ1つは420の約数になります
そして、1つ1つ展開する場合
1つ目のカッコからは1か2か2²(3個中1個)を選んで
2つ目のカッコからは2個中1個を
3つ目のカッコからは2個中1個を
4つ目のカッコからは2個中1個を
選んで掛け算して1や140や210などの項ができるのですから
展開して出来る項の総数は3x2x2x2=24です。
つまり420の約数は24個となります

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