大学の数学入試問題について

九州の某国立大学の数学の過去問ですが、３（１）に示すように以下の問題がありましたが、これは問題がおかしいと思いますが、
如何でしょうか？
３（１）3次方程式x^3-3px+p=0が異なる3つの実数解をもつように実数pの値の範囲を定めよ。
についてですが、f(x)=x^3-3px+pとおいてy=f(x)の増減を調べるためにf'(x)=3x^2-3p=3(x^2-p)=3(x+√p)(x-√p)と極値を持つ必要があるので、まずp≧0・・・①が必要で、増減表においてf'(x)=0よりx=-√pで極大、x=√pで極小となると思い続けていると、f(-√p)=p-2p√p、f(-√p)=p-2p√pでf(-√p)=f(√p)と極大値＝極小値というおかしなことになってしまいます。これは、問題が誤りなのでしょうか？
元々は題意を満たすための必要条件として、①の下で極大値=f(-√p)>0、かつ極小値=f(√p)<0・・・②を満たす実数pの範囲を求めればよいと思っていたのですが、そもそもf(-√p)=f(√p)となるので、②は満たされないので、問題がおかしいのではないかと質問致した次第です。よろしくお願いします。

No.4 回答者： springside 回答日時： 2019/05/16 21:51

>>f(-√p)=p-2p√p、f(-√p)=p-2p√pでf(-√p)=f(√p)と極大値＝極小値というおかしなことになってしまいます。

問題がおかしいのではなく、あなたの計算がおかしい。

f(-√p)=-p√p+3p√p+p=2p√p+p
f(√p)=p√p-3p√p+p=-2p√p+p

だから、f(-√p)≠f(√p)でしょ。

自分の計算力の無さを棚に上げて、問題を批判するのはやめたほうがいい。

No.3 回答者： tekcycle 回答日時： 2019/05/16 21:03

まずさ、こんがらがったときは、ちゃんとグラフを描く癖を付けましょう。

ｙ＝ｘ^3－３ｐｘ
を考えてみます。
ｙ＝ｘ^3－３ｐｘ＋ｑ
は(ｑは実数)、ｙ＝ｘ^3－３ｐｘをｙ方向にｑ平行移動させただけなので、極値があるなら、そのｘ座標は、ｙ方向にいくら平行移動させても変化しません。
そもそも、単調増加のｙ＝ｘ^3というグラフとｐ＜０で単調増加、ｐ＞０で単調減少のｙ＝－３ｐｘという直線のグラフとを足し合わせた物ですよね。
どちらも原点を通りますので、足し合わせた物も原点を通ります。
単調増加に単調増加を加えても、単調増加にしかなりません。このときは、極値を持ちません。
単調増加に単調減少を加えたことで、｜ｘ^3｜より｜－３ｐｘ｜の方が大きいときに瘤を作ります。
例えば３ｐ＝１とすると、－１＜ｘ＜１の範囲では｜ｘ^3｜＜｜－ｘ｜となり、ｘ＝±１のときに
ｘ^3－ｘ＝０、つまりｘ軸と交わります。
ｙ＝ｘ(ｘ－１)(ｘ＋１)なので、ｘ＝－１,０,１でｘ軸と交わる。
勿論、ｙ＝ｘ^3－３ｐｘの場合は、ｙ＝ｘ{ｘ－√(３ｐ)}{ｘ＋√(３ｐ)}なので、－√(３ｐ),０,√(３ｐ)でｘ軸と交わる。
極値は、ｙ'＝３ｘ^2－３ｐ＝３(ｘ－√ｐ)(ｘ＋√ｐ)だから、ｘ＝±√ｐの地点。
このときのｙの値は、ｘ＝－√ｐのとき、－ｐ√ｐ＋３ｐ√ｐ＝２ｐ√ｐ、
ｘ＝√ｐのとき、ｐ√ｐ－３ｐ√ｐ＝－２ｐ√ｐ。
考えてみれば、原点に対して点対称であるはずで。

これに対して、ｙ＝－ｐというｘ軸に平行な直線が、－２ｐ√ｐ＜－ｐ＜２ｐ√ｐにあれば、
ｙ＝ｘ^3－３ｐｘとｙ＝－ｐは交点を三つ持つ。
⇔ｘ^3－３ｐｘ＋ｐ＝０は実数解を三つ持つ。

ここまでグラフに描いて考えてみよう。
グラフを考えずに、計算だけで済ます、ブラックボックスのまま処理しようとすると、ミスをしたときにひとたまりもありません。

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/05/16 20:20

f(x) = x^3-3px+p なら、f(-√p) = f(√p) ではありません。

f’(-√p) = f’(√p) = 0 と混同してはいませんか？

No.1 回答者： tantanm 回答日時： 2019/05/16 18:01

f(√p)=p-2p√p

f(-√p)=p+2p√p

xの符号が逆なら，xの奇数乗の部分は当然，逆符号になる