この問題の解き方分かる人募集中！！ 次の式を因数分解せよ (1) x³＋6x²＋12x＋8 (2)

この問題の解き方分かる人募集中！！

次の式を因数分解せよ

(1) x³＋6x²＋12x＋8
(2) x³＋64
(3) x⁴-7x²＋9
(4) a³＋b³＋c³-3abc

解説もして頂けると本当に助かります！！

No.4 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/05/02 15:02

(1)

パッと見て、x = -2 を代入したとき値が 0 になることに気づく。
そのような -2 は、定数項 8 の約数の中から探せばよい。
因数定理より、(1)は x-(-2) で割り切れる。
組み立て除法でも使って(1)を x+2 で割れば、
x³＋6x²＋12x＋8 = (x+2)(x^2+4ｘ+4).
x^2+4ｘ+4 = (x+2)² は、普通知ってる範囲だが、
(1)が x+2 で割り切れるのを見つけたのと同じ方法で
x^2+4ｘ+4 が (x+2) で割り切れることを発見してもよい。
一番早道なのは x³＋6x²＋12x＋8 = (x+2)³ を覚えとくこと
だけど、すぐに再構成できるなら暗記しなくてもかまわない。
(2)
パッと見て、x = -4 を代入したとき値が 0 になることに気づく。
x³＋64 = 0 を x³ = -64 とすればよいわけだからね。
因数定理より、(2)は x-(-4) で割り切れる。　以下同上。
(3)
これは頓智問題だが、類題頻出なので見たことがあるはず。
x⁴-7x²＋9 = (x⁴-6x²＋9) - x² とすれば、二乗の差の形になっている。
(x⁴-6x²＋9) - x² = (x²-3)² - x² = (x²-3 + x)(x²-3 - x).
(4)
公式そのものだが、公式は再構成できるなら暗記しなくてもかまわない。
基本どおり、ひとつの文字に着目して
a³＋b³＋c³-3abc = a³ - 3bc・a + (b³+c³).
a についての定数項 b³+c³ を(2)と同様に処理して
a³ - 3bc・a + (b³+c³) = a³ - 3bc・a + (b+c)(b²+c²-bc).
(1)(2)と同様の考えで a = ±(b+c), ±(b²+c²-bc) のどれかが根にならないか
を探すと、a = -(b+c) を代入したとき(4)式の値が 0 になることに気づく。
因数定理より、(4)は a-(-(b+c)) で割り切れる。　以下同上。

この回答へのお礼

ありがとうございました！
今年から高校生になって
まだ分からない問題も多いですが、
皆さんに頂いた分かりやすい解説を参考にしつつ
頑張っていきたいと思います！

お礼日時：2020/05/10 17:45

No.3 回答者： springside 回答日時： 2020/05/02 14:23

もし大学受験を目指しているのなら、(4)のa³＋b³＋c³-3abc=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ca)は知っていて当然の単純な公式ですので、暗記必須。

No.2 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/05/02 13:44

（１）（２）は3乗公式利用です

(1)(a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³　にa=x、b=2を代入して
x³＋6x²＋12x＋8=x³＋3x²・2＋３x・2²＋2³
＝(x+2)³
(2) a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)　にa=x,b=4を代入
x³＋64=x³＋4³=(x+4)(x²-4x+16)
(3)x²=Aとおくと　両辺辺2乗で　x²・x²=x⁴=A²

x⁴-7x²＋9＝A²-7A+9
=A²-6A-A+9
=A²-6A+9-A
=(A-3)²-A
ここでA-3=Bとおいて　後半のAをx²に戻すと
=B²-x²
=(B+x)(B-x)
=(A-3+x)(A-3-x)
=(x²+x-3)(x²-x-3)

(4)(a＋b)³=a³+3a²b+3ab²+b³=a³＋b³+3a²b+3ab²より
a³＋b³＝(a+b)³-(3a²b+3ab²)=(a+b)³-3ab(a+b)だから、a³＋b³を(a+b)³-3ab(a+b)に置き換えると
a³＋b³＋c³-3abc=(a³＋b³)＋c³-3abc
={(a+b)³-3ab(a+b)}＋c³-3abc
=(a+b)³+c³-3ab(a+b)-3abc
ここで　a+b=Mとおくと　3乗公式から　M³+c³=(M+c)(M²-Mc+c²)なので
=M³+c³-3abM-3abc
=(M+c)(M²-Mc+c²)-3abM-3abc
後半2つの項の共通因数3abをくくりだして
=(M+c)(M²-Mc+c²)-3ab(M+c)
共通因数M+cをくくりだして
＝(M+c){(M²-Mc+c²)-3ab}
Mをもどせば
=(a+b+c){(a+b)²-(a+b)c+c²-3ab}
=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ca)

ちなみに　大学受験を目指すなら
a³＋b³＋c³-3abc=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ca) は準公式くらいのつもりで暗記するべき

この回答へのお礼

ありがとうございました！
今年から高校生になって
まだ分からない問題も多いですが
皆さんに頂いた分かりやすい解説を参考にしつつ
頑張っていきたいと思います！

お礼日時：2020/05/10 17:46

No.1 回答者： むらさめ 回答日時： 2020/05/02 13:34

x³＋6x²＋12x＋8　←　ぱっと見て　(x+2)　が因数の一つだと判る

＝(x^2+4ｘ+4)(x+2)
＝(x+2)^3

x³＋64　　←　a^3+b^3＝(a+b)(a^2-ab+b^2)　の公式そのまま適用
＝(x+4)(x^2-4x+16)

x⁴-7x²＋9　←　問題に間違いがあるような気がします

a³＋b³＋c³-3abc　←　これは因数分解の公式そのままです、が、この公式は教科書には載っていない事が多いようです。
＝(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)