この問題がわかりません。 mを定数とする。3次方程式、x^3−(m−3)x^2−mx−1＝0 の1つ

この問題がわかりません。


mを定数とする。3次方程式、x^3−(m−3)x^2−mx−1＝0 の1つの解をαとする。このとき、他の解をmを含まないαの式で表せ。


①−(1/α)
②1/α
③1/α−1
④1/α＋1
⑤−(1/α−1)
⑥−(1/α＋1)
⑦α−1/α
⑧α＋1/α
⑨−(α＋1/α)




解き方も併せて教えてくださると嬉しいです。

どなたかお願いします。

No.3 ベストアンサー 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2020/07/09 20:58

x³−(m−3)x²−mx−1＝0

残りの2つの解をβ、γとします。
解と係数の関係により、
α+β+γ＝ｍ－３……①
αβ+βγ＋γα＝－ｍ……②
αβγ＝１……③

①+②
α+β+γ+αβ+βγ＋γα+3＝０……⓸

③より、
γ＝1/αβ……⑤

⑤を⓸に代入
α+β+1/αβ+αβ+β(1/αβ)＋(1/αβ)α+3＝０
α+β+1/αβ+αβ+1/α＋1/β+3＝０
α²β+αβ²+1+α²β²+β＋α+3αβ＝０
(α²+α)β²+(α²+3α+1)β＋α+1＝０
α(α+1)β²+(α²+3α+1)β＋α+1＝０
{(α+1)β+1}{αβ+(α+1)}=0
(α+1)β+1=0 , αβ+(α+1)=0
β= -1/(α+1) , β= -(α+1)/α

⑤に代入
β= -1/(α+1) のとき、γ＝-(α+1)/α
β＝-(α+1)/α のとき、γ＝-1/(α+1)

したがって、他の解は、 -1/(α+1) 、-(α+1)/α
[ x³−(m−3)x²−mx−1＝0 に x=-1 を代入すると、-1−(m−3)+m−1＝0 より、1=0 不成立。よって、α≠ -1
また、③より、α≠0 ]

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/07/08 16:33

３個の解のうち、どれをαとしてもよいのだから、

αからその答えへの写像は
３回合成すると恒等写像になるようなものであるはず。
この条件だけで絞りきれない？

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2020/07/08 02:13

「m を含まない」ってあるから m を消す.