線形代数で直行行列と回転行列で対角化をする上での違いはありますか？

線形代数で直行行列と回転行列で対角化をする上での違いはありますか？

No.5 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/07/10 12:43

回転行列

(cosθ,-sinθ)
(sinθ,cosθ)
の
1列ベクトル
(cosθ;sinθ)
と
2列ベクトル
(-sinθ;cosθ)
の
内積
{(cosθ;sinθ),(-sinθ;cosθ)}=-cosθsinθ+sinθcosθ=0
は
0
に
なります
1にはなりません

θ回転行列
(cosθ,-sinθ)
(sinθ,cosθ)
の
転置行列
(cosθ,sinθ)
(-sinθ,cosθ)
は
逆(-θ)回転行列になるから

転置行列と逆行列が等しくなるから
回転行列は直交行列である

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/07/09 16:26

直交行列とは、転置行列と逆行列が等しくなる正方行列のこと

例)

回転行列

2次元ユークリッド空間において,原点を中心に角θの回転をあらわす行列

(cosθ,-sinθ)
(sinθ,cosθ)

の転置行列

(cosθ,sinθ)
(-sinθ,cosθ)

は原点を中心に角-θの回転をあらわすから

(cosθ,-sinθ)
(sinθ,cosθ)

の逆行列になっているから

回転行列は直交行列である

この回答へのお礼

回転行列のベクトルの内積が1だから直行行列という考え方でいいですか？

お礼日時：2024/07/10 11:51

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/07/08 23:07

回転行列は直交行列一種なので、比べるのがおかしいというか、

長方形と正方形を扱う上で違いはあるか？とか聞くのと似ている。
回転行列は、直交行列の中で行列式の値が +1 のもののこと。

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2024/07/08 20:28

「直交行列」と回転行列とであれば, 本質的には違わない. というか, それぞれがどのようなものなのかは理解できているのだろうか.

「直行行列」と回転行列とであれば, 「そもそも『直行行列』ってなに?」だけど.

この回答へのお礼

本質的とはどのような部分ですか？

お礼日時：2024/07/09 14:31

No.1 回答者： tknakamuri 回答日時： 2024/07/08 18:07

違わないと思う。

ちなみに回転行列は直交行列。